Cuándo podemos aplicar el método de complejización de la integral.

Question

Hace poco estaba recorriendo YouTube, y vi el método de complejización de la integral https://m.youtube.com/watch?v=CpM1jJ0lob8 . He probado algunas integrales y ha funcionado bien.

Sin embargo, intenté subir de nivel, y traté de encontrar.

$$\int \frac{e^x}{\mathrm{cos}x} dx$$

Lo cual no funcionó. Mi suposición fue que no funcionó porque la función que estamos integrando es discontinua en algunos puntos. Así que mi pregunta es ¿en qué circunstancias podemos aplicar el método de complejizar la integral?

Mi trabajo:

$$=Re{\int \frac{e^x}{e^{ix}} dx}$$ $$=Re{\int e^{(1-i)x} dx}$$ $$=Re{\frac{e^{(1-i)x}}{1-i}}+c$$

Con un poco más de álgebra (y verificado a través de wolphy consigo):

$$\frac{1}{2}e^x(\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x)+c$$

Lo que parece incorrecto porque es lo mismo que cuando evalué:

$$\int e^x \mathrm{cos}x dx$$

Answer 1

El problema está en decir que $\frac{e^x}{\cos(x)}$ es la parte real de $\frac{e^x}{e^{ix}}$ . En general, no es cierto que $\text{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{\text{Re}(z_1)}{\text{Re}(z_2)}$ para $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ . Echemos un vistazo a $\frac{e^x}{e^{ix}}$ : \begin{align*} \frac{e^x}{e^{ix}} &= \frac{e^x}{\cos(x)+i\sin(x)}\\ &= \frac{e^x}{\cos(x)+i\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)-i\sin(x)}{\cos(x)-i\sin(x)}\\ &= \frac{e^x(\cos(x)-i\sin(x))}{\cos^2(x)+\sin^2(x)}\\ &=e^x(\cos(x)-i\sin(x)). \end{align*} Así que de hecho $\text{Re}\left(\frac{e^x}{e^{ix}}\right)=e^x\cos(x)\neq \frac{e^x}{\cos(x)}$ . No se me ocurre cómo reconocer $\frac{e^x}{\cos(x)}$ como la parte real de una función compleja. Eso no quiere decir que no se pueda hacer, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 2

He utilizado esta técnica a menudo, y se me ocurrió de forma independiente. No sabía que en el MIT lo enseñaban como "complejizar la integral", jeje. :)

El método del profesor funciona para integradas de la forma $k\cdot z$ , donde $k$ es una expresión real y $z$ es una expresión compleja. Esto se debe a que $\text{Re}(kz) = k\text{Re}(z)$ , lo cual es fácil de demostrar.

Sin embargo, no funciona para expresiones de la forma $\frac{k}{z}$ ya que $\text{Re}(\frac kz) \neq \frac {k}{\text{Re}(z)}$ En general. De hecho, $\text {Re}(\frac kz) = \frac{k}{|z|}\cdot \text {Re}(z)$ .

Yo sugeriría una forma más general de "complejizar", utilizando:

$\cos x = \frac 12(e^{ix} + e^{-ix})$ y $\sin x = \frac {1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$ .

Un poco más de álgebra, pero siempre funcionan.

Answer 3

$ e^x/\cos(x)$ no tiene una antiderivada elemental. Esto se puede demostrar utilizando el algoritmo de Risch.

EDIT: La antiderivada se puede expresar en términos de la Función Lerch Phi :

$$ i{{\rm e}^{ \left( 1-i \right) x}}{\it LerchPhi} \left( -{{\rm e}^{-2 \,ix}},1,1/2+i/2 \right) $$

où $${\it LerchPhi}(z,a,v) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{(v+n)^a}$$