Comprensión Karlin ' s prueba de Perron ' s teorema.

Question

La lectura de una prueba de Perron del Teorema me quedé atrapado en algún lugar:

Hemos demostrado que el radio espectral $\rho$ es un autovalor simple. Ahora tenemos que comprobar que no existen autovalores distintos de radio espectral de módulo de $\rho$.

Considere la posibilidad de $A − \epsilon I > 0$ pequeña $\epsilon > 0$. Su positivas más autovalor es $\rho − \epsilon$, que ha demostrado ser su radio espectral.

La traducción de este pequeño círculo a la derecha por $\epsilon$ vemos que todos los restantes valores propios de a $A$ se encuentran dentro de la disco abierto $|λ| < ρ$.

No puedo comprender por encima de la línea(en negrita), se Necesita Ayuda!

Ref: Muchas Pruebas y Aplicaciones de la Escalinata del Teorema de pg496.

Answer 1

Tal vez esto le ayudará a: cualquier valores propios $A$ deben satisfacer $|\lambda| \leq \rho$y $|\lambda - \epsilon| \leq \rho - \epsilon$. Es el único número complejo que satisfaga ambas $|\lambda| = \rho$y $|\lambda - \epsilon| \leq \rho - \epsilon$ $\lambda = \rho$.

Answer 2

Traducir el círculo más pequeño corresponde a deshacer la operación $A - \varepsilon I$, en términos de los valores propios. Es decir, si en el plano complejo se dibuja un punto para cada valor propio $A - \varepsilon I$, pasando posteriormente a la derecha por $\varepsilon$ le da los valores propios de $A$. Puesto que todos ellos están dentro del círculo de radio $\rho - \varepsilon$, cuando se les mueven, lo único que puede ser un valor propio en el límite del círculo de radio $\rho$ es que en el eje real positivo, es decir en $\rho$.