¿Encontrar el entero positivo todas las soluciones $(x,y,z)$ $5^x \cdot 7^y +4= 3^z$ que?

Question

Este es otro problema matemático del concurso.

El único problema es que no puedo encontrar la manera de abordar este problema.

¿Alguien puede tratar de proporcionar la solución para resolver este problema?

Gracias

Answer 1

Desde $x,y,z \in \mathbb{N}$ tenemos que $5|5^x7^y$, por lo tanto tenemos: $3^z \equiv 4 \mod 5$. Desde $ord_5(3) = 4$ $3^2 \equiv 4 \pmod 5$ obtenemos $\fbox{$z = 4n + 2$}$. Obviamente $z$ es aun así hemos $\fbox{$z=2k$}$. Entonces tenemos:

$$5^x7^y = 3^{2k} - 4 = (3^k - 4)(3^k + 4)$$

Ahora vamos a $d = (3^k - 4,3^k + 4)$, $d$ divide su diferencia, por lo $d\mid 8$. Pero ambos números son, obviamente, impar, por lo tanto $(3^k - 4,3^k + 4) = 1$. Ya tenemos 2 diferentes factores primos en el lado izquierdo tenemos $4$ de los casos:

Caso 1:

\begin{cases} 3^k - 4 = 5^x \\ 3^k + 4 = 7^y \end{casos}

Trabajo wrt modulo 5 y 7, respectivamente, obtenemos $k=4n + 2$$k=6n + 1$, una contradicción evidente.

Caso 2:

\begin{cases} 3^k + 4 = 5^x \\ 3^k - 4 = 7^y \end{casos}

De trabajo modulo $3$: $5^x \equiv 2^x \equiv 1 \pmod 3 \implies \fbox{$x=2m$}$

Así, obtenemos: $3^k = (5^m - 2)(5^m + 2)$. Como anteriormente hemos de conseguir que los dos factores en el lado derecho se comprime. Desde $5^m + 2 > 1$ tenemos que la única posibilidad es:

\begin{cases} 5^m - 2 = 1 \\ 5^m + 2 = 3^k \end{casos}

Para la primera ecuación tenemos: $5^m = 3$ una contradicción.

Caso 3:

\begin{cases} 3^k + 4 = 1 \\ 3^k - 4 = 5^x7^y \end{casos}

Una contradicción obvia para la primera ecuación.

Caso 4:

\begin{cases} 3^k + 4 = 5^x7^y \\ 3^k - 4 = 1 \end{casos}

A partir de la segunda ecuación obtenemos $3^k = 5$ una contradicción, porque $k \in \mathbb{N}$

Por lo tanto, esta ecuación no tiene una solución en $\mathbb{N}$

Answer 2

Teniendo en cuenta la ecuación módulo $5$ muestra que $z = 2+4m$ para algunos entero $m$. Teniendo en cuenta la ecuación módulo $7$ muestra que $z = 4 + 6n$ para algunos entero $n$. Así tenemos a $2 + 4m = 4 + 6n$. Este es un lineal de la ecuación de Diophantine, y las soluciones a la ecuación original puede ser encontrado por primera resolución de este.

Edit: me parece que se han pasado por alto el hecho de que el lineal de la ecuación de diophantine lee $2m - 3n = 1$. Debido al signo negativo, hay infinitamente muchas soluciones positivas y por lo tanto este método de ataque no parece ayudar.

Answer 3

Dado; $5^x \cdot 7^y +4= 3^z$ tenemos, $(-1)^x +1 \equiv 0 \pmod3$ por lo tanto $x$ debe ser impar, de nuevo, $(-1)^y \equiv (-1)^z \pmod 4$ por lo tanto $y$ $z$ tienen la misma paridad. De nuevo $-1 \equiv 3^z \pmod 5$ o $1 \equiv 3^{2z} \pmod 5$ por lo tanto, por Euler-Fermat teorema $2|z$. De nuevo desde $y$ $z$ son aún tenemos, $5^x \equiv 4 \pmod 8$, ya que el $x$ es impar, tenemos dos casos; $x=4k+1$ o $x=4k+3$, tenga en cuenta que $5^{4k} \equiv 1 \pmod 8$, en los dos casos, de cada rendimiento $5^x \equiv 5 \pmod 8$ una contradicción, por lo tanto $x$ no puede ser mayor que $0$, yo.e $x=0$. La ecuación dada se convierte entonces en $7^{2m} +4= 3^{2n}$ o $(7^m)^2 +2^2= (3^n)^2$, un pythagora la ecuación con solución, $2=2uv$, $7^m=u^2-v^2$ y $3^n=u^2+v^2$, de la que es obvio que $m$ $n$ no existen, y por lo tanto, $y(=2m)$ $z(=2n)$ no existen