Valor del límite dado

Question

Necesito calcular el valor de:

$$\lim{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum{r=1}^{2n}{\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}}$$

Había estado tratando de usar la sumación de Cesàro pero de alguna manera, yo podría estar arruinando.

Las opciones son: $$\sqrt{5}+1,\sqrt{5}-1,\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1$ $

Answer 1

Sugerencia: Como una Suma de Riemann: $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{r=1}^{2n}\frac{r/n}{\sqrt{1+r^2/n^2}}\frac1n=\int_0^2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x\tag{1} $$

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También podemos utilizar el hecho de que $$ \sqrt{n^2+r^2}-\sqrt{n^2+(r-1)^2}=\frac{2r-1}{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}\etiqueta{2} $$ y $$ \begin{align} &\left|\,\frac{2r-1}{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}-\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}\,\right|\\[6pt] &=\small\left|\,\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}\frac{\sqrt{n^2+r^2}-\sqrt{n^2+(r-1)^2}}{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}-\frac1{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}\,\right|\\[6pt] &=\small\left|\,\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}\frac{2r-1}{\left(\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}\right)^2}-\frac1{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}\,\right|\\[6pt] &\le\frac{2n}{4n^2}+\frac1{2n}\\[12pt] &\le\frac1n\tag{3} \end{align} $$ Por lo tanto, el uso de $(3)$ da $$ \left|\,\frac1n\sum_{r=1}^{2n}\left[\frac{2r-1}{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}-\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}\right]\,\right|\le\frac2n\tag{4} $$ y el uso de $(2)$ rendimientos $$ \frac1n\sum_{i=1}^{2n}\frac{2r-1}{\sqrt{n^2+r^2}+\sqrt{n^2+(r-1)^2}}=\sqrt5-1\etiqueta{5} $$ Finalmente, $(4)$ $(5)$ decir $$ \left|\,\frac1n\sum_{i=1}^{2n}\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}-(\sqrt5-1)\,\right|\le\frac2n\etiqueta{6} $$ Por lo tanto, $(6)$ da $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^{2n}\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}=\sqrt5-1\etiqueta{7} $$

Answer 2

Dibuja un boceto de $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $x=0$ $x=2.$ Calcular la derivada de la función es creciente en este intervalo.

Marca los puntos de $0 \ , \ 1/n \ , \ 2/n \ , \ \ldots \ , \ 2$ $x$- eje. Ahora, en cada intervalo de $\left[ \ \dfrac{i-1}{n} \ , \ \dfrac{i}{n} \right]$ dibujar un rectángulo de altura $f(i/n).$ Aviso de que la suma de las áreas de estos rectángulos es $S_n := \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{r=1}^{2n}{\frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}},$ y que este sobrestima el área de $\int^2_0 f(x) dx.$ Así obtenemos $S_n \geq \int^2_0 f(x) dx.$

Ahora hacen lo mismo, pero en vez de dibujar el rectángulo con altura $f(i/n),$ tomar la altura de $f((i-1)/n).$, a Continuación, estos rectángulos subestimar la zona, y la suma de las áreas de los rectángulos es$S_n - \dfrac{2}{\sqrt{5} n}.$, por Lo que usted tiene

$$ S_n - \frac{2}{\sqrt{5} n } \leq \int^2_0 f(x) dx \leq S_n.$$

Tomando el límite cuando $n\to \infty$ usted ve que su límite es igual a $\int^2_0 f(x) dx = \sqrt{5}-1.$