Permita que$X$ sea una métrica y$A \subset X$, y permita que$x$ punto límite de$A$

Question

Muestre que existe una secuencia$(x_n)$ de puntos distintos en$A -\{x\}$, de forma que$(x_n)$ converja en$x$.

Parece una definición, pero no estoy seguro de cómo mostrar la existencia de una secuencia. Aquí está mi enfoque hasta ahora:

Deje$B_\epsilon(x_n)$ ser la bola abierta de radio$\epsilon$, ya que$x$ es un punto límite, tenemos ese$B_\epsilon(x_n) \cap (A - \{x\})$. Quiero crear una secuencia para mostrar que$x_n$ converge a$x$ pero no estoy exactamente ... seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Para construir una secuencia de este tipo, recuerde que dado que$x$ es un punto límite, el conjunto$B_\epsilon(x) \cap (A\setminus \{x\})$ nunca estará vacío para$\epsilon>0$. Para la secuencia$(x_n)$ ahora solo elige$x_n \in (A\setminus \{x\}) \cap B_{\frac1n}(x) \ne \emptyset$. La elección es posible por los motivos indicados y la secuencia converge a$x$ independientemente de las elecciones que hagamos, como se puede mostrar fácilmente.