El principio de equivalencia - Por qué los objetos caen a la misma velocidad

Question

Tengo un debate con mi padre. Él dice que es perfectamente comprensible que los objetos caigan con la gravedad a la misma velocidad a pesar de tener masas diferentes. Su argumento es que, en relación con la masa y la atracción gravitatoria de la Tierra, la diferencia entre la masa de una pluma y la de una bala de cañón en relación con la masa de la Tierra es insignificante. Por lo tanto, la gravedad actúa sobre ellas de la misma manera (o casi de la misma manera). ¿Tiene razón?

Answer 1

En realidad, la masa de la tierra no define cuál de los dos cuerpos (pluma o bala de cañón) cae primero. El problema es un poco más profundo que eso, y en realidad es la razón de Relatividad general y en general, todos los formulaciones geométricas de la gravedad .

A grandes rasgos, el movimiento de las masas depende únicamente de las propiedades locales del campo gravitatorio, independientemente de su masa. Esta observación llevó a Einstein a la formulación de la Principio de equivalencia y es la razón por la que pensamos en la fuerza gravitatoria como un reflejo de la curvatura local del espacio-tiempo.

Si estás familiarizado con un poco de matemáticas, si $m_{\rm grav}$ es la masa gravitatoria de un cuerpo (mide cuánto le afecta la gravedad) y $m_{\rm inertial}$ es su masa inercial (mide la dificultad de cambiar su estado de movimiento), entonces La segunda ley de Newton establece que cuando este cuerpo es la presencia de una masa $M$ su aceleración sigue la expresión

$$ m_{\rm inertial}a = G\frac{m_{\rm grav}M}{r^2} $$

Esto proporciona una forma de medir la proporción en el laboratorio

$$ \frac{m_{\rm inertial}}{m_{\rm grav}} = \frac{GM}{ar^2} $$

El resultado es que este número es un con una precisión de 1 entre 20 millones. Así que estamos tentados a creer que, efectivamente, la masa inercial es la misma que la masa gravitatoria y, en consecuencia, que todas las masas se ven afectadas de la misma manera por la gravedad, o dicho de otro modo, que la gravedad es una propiedad emergente de la geometría local del espaciotiempo.

Answer 2

No, no tiene razón. La razón es que el masa gravitacional de un objeto es igual a su masa de inercia . Por lo que sabemos, esto es exacto y no hay ninguna aproximación, aparte de la suposición de que no hay resistencia del aire.

Con más detalle: La fuerza de "atracción" gravitatoria con la que la tierra (de masa $M$ ) tira de un objeto de masa (gravitatoria) $m_g$ a distancia $r$ desde el centro de la tierra, viene dado por: $$F=\frac{GMm_g}{r^2}$$

Como puedes ver, esta fuerza depende de la masa del objeto y será mucho mayor para la bala de cañón que para la pluma. Sólo tienes que ponerte una bala de cañón en la cabeza y notarás la diferencia con respecto a tener una pluma en la cabeza.

Según la ley de Newton, esta fuerza hace que el objeto se acelere: $$a=\frac{F}{m_i}$$ donde $m_i$ es la masa inercial, que puedes imaginar como una resistencia a la aceleración.

Aprovechando que $m_g=m_i$ De estas dos ecuaciones se deduce que la aceleración es independiente de la masa del objeto y sólo depende de la distancia a la tierra: $$a=\frac{GM}{r^2}$$ que en la superficie de la tierra ( $r$ igual al radio de la tierra) es la conocida aceleración $g\approx 9.81~m/s^2$ .

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O en palabras:

1. La Tierra tira más fuerte (mayor fuerza) de los objetos más pesados
2. Los objetos más pesados son más difíciles de mover (requieren más fuerza para acelerar)

Milagrosamente, por razones desconocidas, resulta que estos dos efectos se anulan mutuamente de manera que la aceleración es la misma para los objetos más pesados y los más ligeros.

Answer 3

Sí, tiene razón. El pozo de gravedad de la tierra es significativamente mayor que el de la pluma y la bala de cañón. Como tal, viajan a lo largo de geodésicas casi idénticas a una velocidad casi idéntica.