¿Por qué ' t Cauchy-Schwarz en $\mathbb{R}^n$ generalizar a exponentes $k>2$?

Question

Dado $(x_i)_{i=1}^n, (y_i)_{i=1}^n \in \mathbb{R}^n$, la de Cauchy-Schwarz Desigualdad afirma $$\left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \left( \sum_{i=1}^n y_i \right)^2.$$

Brilla por su ausencia la página de la Wikipedia, es un reclamo que $$\left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^k \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^k \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^k \right)$$ holds for $k>2$, which makes me think it's untrue (and similarly for the same formula with absolute value signs around the $x_i$'s and $y_i$'s). De hecho, podemos encontrar al azar contra-ejemplos en un equipo.

Pregunta: ¿por Qué no Cauchy-Schwarz en $\mathbb{R}^n$ generalizar a los exponentes $k>2$?

Podemos obtener alguna idea de por qué funciona para$k=2$, pero no por $k>2$?

Answer 1

Desigualdad de Cauchy-Schwarz permite una óptima comparación entre el producto interno euclidiana y la norma euclidiana. La generalización sería comparar este último con la $\ell_k$-norma $k\gt 2$. Ya que $\mathbb R^n$ es finito dimensional, sabemos que es $C_n$ tal que todos $x,y\in\mathbb R^n$, $$|\langle x,y\rangle|\leqslant Cn\lVert x\rVert{\ellk}\cdot \lVert y\rVert{\ell_k},$ $ pero toma $x=y=(1,\dots,1)^t$, podemos ver que $n^{k-2}\leqslant C_n$, así que no podemos elegir $C_n=1$.