Recuerdo vagamente que un profesor me dijo que no le gustaba introducir la unidad imaginaria $i$ como "la raíz cuadrada de $-1$ ", pero no recuerdo por qué. ¿Hay falta de rigor en la afirmación, o es una afirmación engañosa en cualquier otro sentido?
Supongo que no era algo como "la raíz cuadrada sólo está definida para los números no negativos".
Hay dos raíces cuadradas de $-1$ . El uso del artículo definido "el" implica unicidad.
Ver una pregunta relacionada que en realidad podría ser un duplicado...
Las respuestas anteriores están bien para alguien que ya conoce los números complejos, pero yo entiendo la pregunta de otra manera.
El problema con Presentación de $i$ como "la raíz cuadrada de $-1$ " (y usar esto para definir los números complejos) es que, por supuesto, para alguien que sólo conoce los reales, "la raíz cuadrada de $-1$ "no tiene sentido. Como queda claro en las otras respuestas, hay que cambiarlo por "una raíz cuadrada de $-1$ ".
Pero aún así: ¿qué se supone que significa esto? Sabemos que no existe una raíz cuadrada real de $-1$ Entonces, ¿de qué tipo de objetos (y de qué tipo de multiplicación) estamos hablando? Éstas son las preguntas que debe hacerse un estudiante cuando se enfrenta a una "definición" de este tipo.
La respuesta es que necesitamos un conjunto completamente nuevo, normalmente pares de números reales con $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ como la multiplicación. Sólo entonces podemos definir $i=(0,1)$ y descubrir que $i^2=-1$ . Cuanto más experimentados son los estudiantes, más pueden olvidarse de estos tecnicismos, pero tienen que verlos una vez, aunque sólo sea para responder a la pregunta de cómo "existen" los números complejos.
Recuerdo que, cuando leí sobre los números complejos en la escuela, pensé que toda la teoría se basaba en la suposición de que existe una raíz cuadrada real de $-1$ Y me pregunté cómo podía ser útil una teoría de este tipo basándose en una suposición obviamente falsa. La cuestión es que no hacemos ninguna suposición, simplemente definimos todo un nuevo conjunto de números, y empezando por "la raíz cuadrada de $-1$ " lleva a la confusión en ese sentido.
El problema es que hay dos valores posibles para "la raíz cuadrada de -1", ya que la ecuación $x^2 = -1$ tiene dos soluciones. En el caso real (es decir, $x^2 = a$ para $a \ge 0$ ), se considera que la raíz cuadrada es la solución positiva, pero esta distinción se rompe en el caso imaginario, ya que no existe una relación mayor que sea compatible con la estructura del campo.
La primera razón que se me ocurre es que si se piensa en $i=\sqrt{-1}$ entonces usted puede estar tentado a argumentar que
$$\begin{align*} i^2&=\sqrt{-1}\sqrt{-1}\\ &=\sqrt{(-1)(-1)}\\ &=\sqrt{1}\\ &=1, \end{align*}$$ lo cual es claramente falso, ya que $i^2=-1$ . Siempre he pensado en $i$ como algo que se cuadra para conseguir $-1$ en lugar de pensar en ella como una raíz cuadrada.
Sin embargo, hay una explicación un poco más complicada, pero más completa, que implica un análisis complejo. El problema radica en tratar de tomar exponentes fraccionarios de números negativos, por ejemplo $(-1)^{1/2}$ . En el instituto te dicen que las raíces cuadradas y los logaritmos no están definidos para los números negativos, pero la verdad es que sí existen, pero sólo como números complejos.
Para un número complejo $z$ (que incluiría todos los números reales negativos) definimos el logaritmo natural de $z$ como $$\mathcal L_\tau(z)=\ln|z|+i\;\arg_\tau(z),$$ donde $\ln{|z|}$ es el logaritmo natural real del módulo de $z$ (que siempre es positivo y real), y $\arg_\tau(z)$ es el argumento del número complejo $z$ (el ángulo que forma con el eje real positivo en el plano complejo) con valores en el rango $[\tau,\tau+2\pi)$ . Entonces tenemos que $$\begin{align*} \exp{(\mathcal L_\tau(z))}&=\exp(\ln|z|+i\;\arg_\tau(z))\\ &=e^{\ln|z|}e^{i\;\arg_\tau(z)}\\ &=|z|(\cos(\arg_\tau(z))+i\;\sin(\arg_\tau(z)))\\ &=r(\cos(\theta)+i\;\sin(\theta))\\ &=z, \end{align*}$$ independientemente de nuestra elección de $\tau$ .
Por lo tanto, cuando se puede utilizar esta definición para definir $z^{\alpha}$ , donde $\alpha$ es un número complejo cualquiera. Simplemente lo definimos como sigue: $$z^{\alpha}:=\exp(\alpha \mathcal L_\tau(z)),$$ para alguna elección de $\tau$ . Esto tiene sentido ya que $\mathcal L_\tau(z^n)=n\mathcal L_\tau(z)$ , para $n$ un número entero, y como $\exp$ es la inversa de $\mathcal L_\tau$ .
Sin embargo, dado que la elección de $\tau$ no es único, entonces podemos tener diferentes valores de $z^{\alpha}$ para diferentes opciones de $\tau$ . Esto hace que las potencias complejas (y fraccionarias) de los números complejos (y negativos) sean más complicadas de lo que nos gustaría.
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