¿Usa la prueba integral para mostrar que Gaussian Integral$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx$ converge?

Question

Hay una pregunta en mi libro (es un libro de texto específico de la escuela) diciendo:

Uso de la prueba integral para mostrar $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx$ $ (el gauss Integral) converge.

La prueba integral dice que si la integral converge, también lo hace la serie. Pero no tengo ni idea de cómo representar esto como una serie, ¿es necesario?

No estoy mirando para evaluarlo - en Internet - he leido sobre ello, pero ¿cómo se utiliza la prueba integral aquí?

Gracias

Answer 1

Indirecta: $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx = 2\int_0^\infty e^{-x^2} dx = 2\bigg[\int_0^1 e^{-x^2} dx + \int_1^\infty e^{-x^2} dx\bigg]$ $

más $e^{-x^2} \leq e^{-x}$ $x> 1$ y $$\int_1^\infty e^{-x} dx = \color{#f05}{\frac{1}{e}}$ $

Answer 2

Consejo. Un problema potencial es infinito.

Ya que sabemos que \lim\limits_{x \to \:+\infty}\ $$, (1 + x ^ 2) \times e ^ {-x ^ 2} = 0 $$ then there exists a constant $A$ tales que $$ (1 + x ^ 2) \times e ^ {-x ^ 2} convergente.

Answer 3

Si tiene $0