Demostrando que un cierto conjunto en una extensión de forzamiento genérico ya estaba en el modelo de tierra

Question

Supongamos que$M[G]$ es una extensión genérica de un modelo$M$. Considera un cardinal$\lambda$ con una orden parcial$\leq\in M[G]$ y deja que$\mathscr D$ sea una colección de$\lambda$ conjuntos densos de$\langle\lambda, \leq\rangle$. En particular, deja$\mathscr D=\{D_\alpha:\alpha\in\lambda \}$. Supongamos que el conjunto$X=\{\langle\alpha, \beta \rangle\}\in \lambda\times\lambda:\beta\in D_\alpha\}$ ya está en$M$.

¿Cómo puedo definir$\mathscr D$ en términos de$X$ de tal manera que implicará que$\mathscr D$ también esté en$M$?

Solo como referencia, está relacionado con la prueba de la consistencia del Axioma de Martin tal como aparece en el libro de Kunen.

Answer 1

Defina$f\colon X\to\lambda$ por$f(\alpha,\beta)=\alpha$, luego$f$ está en$M$. Ahora la función de preimagen$f^{-1}(\alpha)=\{\alpha\}\times D_\alpha$, ahora puede probar que$Y=\{\{\alpha\}\times D_\alpha\mid\alpha<\lambda\}\in M$. Finalmente, considere el mapa de$Y$ de manera que$(\alpha,D_\alpha)$ esté mapeado a$D_\alpha$, también se puede definir en$M$, por lo tanto su rango,$\{D_\alpha\mid\alpha<\lambda\}\in M$ como se desee.