Problemas con una simple línea Integral.

Question

Deje $\gamma$ ser suave de la curva de Jordan en $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$$(1,0)$$(1,0)$, bobinado sobre el origen de una vez en la dirección de las agujas. Calcular:

$$\int_{\gamma}\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy$$

Pensé que este problema sugiere utilizar el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea, de modo que si $\gamma(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, entonces parece natural querer escribir

\begin{align} &\int_{\gamma}\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy\\ &\qquad=\int_{0}^{1}\frac{y(t)x'(t)}{x^2(t)+y^2(t)}+\frac{x(t)y'(t)}{y^2(t)+x^2(t)}\ dt\\ &\qquad=\int_{0}^{1}\nabla f(x(t),y(t))\cdot \langle x'(t),y'(t)\rangle dt \end{align}

donde $f(x,y)=\frac{-1}{2(x^2+y^2)}$. Entonces el teorema fundamental implica que la integral de línea se evalúa a $0$, ya que la pendiente es obviamente continua en $\gamma$.

Pero la última desigualdad es malo, en la medida en que el orden es incorrecto. Pero pensé que podría ser más útil para mostrar dónde estoy atascado, y demostrar pensé acerca de esto antes de publicar.

Sinceramente,

Alguien que no haya tenido que tomar una integral de línea en cinco años.

Answer 1

Fundamental/divergencia/verde / Teorema de Stokes no se aplica si su función tiene singularidad dentro del dominio. En este caso, hay una singularidad en $(0, 0)$, y su curva de ir alrededor de la singularidad.

Answer 2

Tal vez debería escribir su función en la forma compleja $f(z) dz$, donde $dz=dx+idy$. Luego use el teorema del residuo, como esta función parece que tiene foliaciones fuera cero, así que sólo tienes que calcular su residuo en 0.