Estoy dada la siguiente matriz: $B =\begin{bmatrix} 1-2\sqrt{2} & 2-\sqrt{2} & 0 \\ 1-2\sqrt{2} & 2-\sqrt{2} & 0 \\ 1-\sqrt{2} &-1+\sqrt{2} & 1 \\\end{bmatrix} $ y se supone que debo averiguar si se describe una rotación, una proyección o una reflexión.
Hasta ahora he descubierto que
- su determinante es $0$, por lo que no tiene inversa
- su conjunto de puntos fijos es un plano descrito por el vector $(k, -k, j)$ donde $k$ $j$ son números reales arbitrarios
- su núcleo es una línea descrita por $n \cdot \left(2, 3-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1- \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ donde $n \in \mathbb{R}$
- la dimensión de su imagen (su rango) es $2$, ya que sólo tiene dos filas linealmente independientes
- la dimensión de su núcleo (su nulidad) es $1$, dado que el núcleo es una sola línea
- los dos últimos puntos de satisfacer el rango de-nulidad-teorema:
rk B + nul B = dim V, donde la dimensión es, obviamente, $3$
Me siento como que mucha de la información que aún no sé qué tipo de lineal asignación de la matriz realiza.
Yo sé lo mucho que
una rotación
- una matriz ortogonal donde $AA^T = I^{3x3}$
- también se ha $det(A)=1 $
ninguno de estos es el caso de nuestra matriz $B$
- una proyección satisface $A=A^2$ , pero que tampoco es el caso
- una reflexión satisface $A^2 = I^{3x3}$ , así que no es el caso
Me siento como debe de ser algún tipo de proyección, ya que se asigna a una línea (su núcleo) al origen de coordenadas $(0, 0, 0)$.
