Dada una matriz de transformación, ¿cómo puedo saber lo que hace?

Question

Estoy dada la siguiente matriz: $B =\begin{bmatrix} 1-2\sqrt{2} & 2-\sqrt{2} & 0 \\ 1-2\sqrt{2} & 2-\sqrt{2} & 0 \\ 1-\sqrt{2} &-1+\sqrt{2} & 1 \\\end{bmatrix}$ y se supone que debo averiguar si se describe una rotación, una proyección o una reflexión.

Hasta ahora he descubierto que

• su determinante es $0$, por lo que no tiene inversa
• su conjunto de puntos fijos es un plano descrito por el vector $(k, -k, j)$ donde $k$ $j$ son números reales arbitrarios
• su núcleo es una línea descrita por $n \cdot \left(2, 3-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1- \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ donde $n \in \mathbb{R}$
• la dimensión de su imagen (su rango) es $2$, ya que sólo tiene dos filas linealmente independientes
• la dimensión de su núcleo (su nulidad) es $1$, dado que el núcleo es una sola línea
• los dos últimos puntos de satisfacer el rango de-nulidad-teorema:
  rk B + nul B = dim V, donde la dimensión es, obviamente, $3$

Me siento como que mucha de la información que aún no sé qué tipo de lineal asignación de la matriz realiza.

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Yo sé lo mucho que

• una rotación

  • una matriz ortogonal donde $AA^T = I^{3x3}$
  • también se ha $det(A)=1$

  ninguno de estos es el caso de nuestra matriz $B$

• una proyección satisface $A=A^2$ , pero que tampoco es el caso
• una reflexión satisface $A^2 = I^{3x3}$ , así que no es el caso

Me siento como debe de ser algún tipo de proyección, ya que se asigna a una línea (su núcleo) al origen de coordenadas $(0, 0, 0)$.

Answer 1

Es ninguna de las anteriores. Ya has eliminado la rotación y reflexión mediante la determinación de que la matriz es singular. Una proyección satisfaría $B^2=B$, por lo que sus únicos valores propios $0$ y $1$, $\operatorname{tr}B = 4-3\sqrt2$, por lo que hay al menos un valor propio de $B$ que no es.

Answer 2

Has encontrado la ecuación para el plano y se encuentra la ecuación para el nullspace, una línea. Observar que el producto escalar de su vector de posición de plano y su línea nullspace es cero. El vector nullspace es normal al plano.

Debido a su transformación, con cero determinante, no es inversible, se puede tener una reflexión o rotación (ambas operaciones invertible) y por proceso de eliminación tiene una proyección. ¿Tal vez Compruebe la condición de $A^2=A$ otra vez?