DVR en una extensión

Question

Impulsado por esta pregunta, me preguntaba si había alguna solución simple.

Definición: Dejar $L/K$ ser de cualquier extensión de campos. Definir $D(L/K)$ a ser el conjunto de todos los DVRs $R$ tal que $K\subseteq R\subseteq L$.

¿Qué podemos decir acerca de $D(L/K)$? En particular, es siempre no-vacío? ¿Cuáles son algunas propiedades no triviales de una extensión de $L/K$ podría tener tal que $D(L/K)$ tiene una buena descripción? Yo estaría interesado en particular en el caso de que $L$ $K$ son locales o globales.

Gracias!

Answer 1

Reclamo: $D(L/K)$ está vacía iff $L/K$ es algebraico.

Supongamos que tenemos $R \in D(L/K)$, y deje $\pi$ ser un uniformizer. Si $L/K$ es algebraica, a continuación,$K[\pi] = K(\pi) \subset R$, contradiciendo ese $R$ es un DVR. Por el contrario, si $L/K$ no es algebraico, a continuación, $R = K[t]_{(t)} \in D(L/K)$ para cualquier elemento trascendental $t \in L$.

A mí me parece que para dar a $R \in D(L/K)$ es equivalente a dar un intermedio de extensión de campo $K \subseteq M \subseteq L$ $t \in L$ tal que $t$ es trascendental $M$, lo que resulta en $R = M[t]_{(t)}$. Sin embargo, no he pensado en esto por completo, así que ninguna queja en cuanto a su exactitud.