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Question

Encontrar a $$\lim{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum^{2n}{r =1} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}

Mi enfoque:

$$\lim{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum^{2n}{r =1} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}} =\lim{n \to \infty} \frac{1}{n^2}\sum^{2n}{r =1} \frac{\frac{r}{n}}{\sqrt{1+\frac{r^2}{n^2}}} $$

Si pongo $\frac{r}{n} =t$, entonces podemos escribirlo

$$\lim{n \to \infty} \frac{1}{n^2}\sum^{2n}{r =1} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} Va a ayudar a algunos como aquí... y cómo podemos cambiar los límites entonces... por favor sugerir gracias.

Answer 1

SUGERENCIA:

Poner $2n=m,$

$$\lim{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum^{2n}{r =1} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}} $$

$$=4\lim{n \to \infty} \frac{1}{2n}\sum^{2n}{r =1} \frac{r}{\sqrt{(2n)^2+4r^2}} $$

$$=4\lim{m\to\infty}\frac1m\sum^m{r=1}\frac r{\sqrt{m^2+4r^2}}$$

$$=4\lim{m\to\infty}\frac1m\sum^m{r=1}\frac {\frac rm}{\sqrt{1+4\left(\frac rm\right)^2}}$$

$$=4\int_0^1\frac{xdx}{\sqrt{1+4x^2}}$$

$$\lim{n \to \infty} \frac1n\sum{r=1}^n f\left(\frac rn\right)=\int_0^1f(x)dx