Demuestre la identidad de AGM utilizando solo series hipergeométricas

Question

Aritmética Media Geométrica puede ser representado por una función Hipergeométrica:

$$\text{agm}(1,p)=\frac{1}{{_2F_1} \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-p^2 \right)}$$

$$0<p \leq 1$$

Una de las principales propiedades de la junta general de accionistas es la siguiente identidad:

$$\text{agm}(1,p)=\frac{1+p}{2}\text{agm} \left(1,\frac{2\sqrt{p}}{1+p} \right)$$

Esto permite que el infinito representación de los productos de la AGM.

Quería saber si es posible demostrar esta identidad directamente a través de la Hipergeométrica de la serie.

Para la función Hipergeométrica de la identidad de tomar la siguiente forma:

$${_2F_1} \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-p^2 \right)=\frac{2}{1+p} {_2F_1} \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{(1-p)^2}{(1+p)^2} \right)$$

En la forma de serie será:

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!^2} \left(\frac{1}{2}\right)^2_k (1-p^2)^k=\frac{2}{1+p} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!^2} \left(\frac{1}{2}\right)^2_k \frac{(1-p)^{2k}}{(1+p)^{2k}}$$

Creo que la siguiente sustitución de simplificar las cosas:

$$1-p=2x$$

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!^2} \left(\frac{1}{2}\right)^2_k 2^{2k}x^k(1-x)^k=\frac{1}{1-x} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!^2} {\left(\frac{1}{2}\right)^2_k} \frac{x^{2k}}{(1-x)^{2k}}$$

No he sido capaz de demostrar esta identidad de la serie.

La comparación de los términos en este formulario es inútil, ya que las sumas parciales de la serie no son iguales (el segundo de la serie converge mucho más rápido).

La única idea que tengo es el uso de la singularidad de la alimentación de la serie, que requiere la expansión de todo, así que sólo hay poderes de $x$ a la izquierda.

Tenemos:

$$(1-x)^k=\sum_{l=0}^k (-1)^l \left(\begin{matrix} k \\ l \end{matrix} \right) x^l$$

$$\frac{1}{(1-x)^{2k+1}}=(2k)! \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+2k}~ (n+2k)_{2k} ~x^n$$

Aquí $(n+2k)_{2k}$ realmente significa una caída de factorial, que no se levanta factorial, como anteriormente. $(n+2k)_{2k}=(n+2k)(n+2k-1)(n+2k-2) \cdots$. No sé qué otra notación a utilizar en este caso.

Ahora estoy atascado. No sé cómo conseguir el poder único de la serie para $x$ a cada lado para que podamos comparar.

Answer 1

Uso de la función $$f(x) = \frac{1}{\operatorname{agm}(1 + x, 1 - x)}\tag{1}$$ which has the property that $$f(x) = \frac{1}{1 + x}\cdot f\left(\frac{2\sqrt{x}}{1 + x}\right)\tag{2}$$ and use the series expansion $$f(x) = 1 + a_{1}x^{2} + a_{2}x^{4} + \cdots\tag{3}$$ (note that the function $f$ is even) and find coefficients $a_{n}$ by using series expansion $(3)$ in functional equation $(2)$. This is how Gauss derived the formula $$f(x) = {}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1; x^{2}\right)\tag{4}$$ See this post of mine for details. Note also that $$f(x) = \frac{1}{\operatorname{agm}(1, \sqrt{1 - x^{2}})}\tag{5}$$ and hence on putting $1 - x^{2} = p^{2}$ we get $$\operatorname{agm}(1, p) = \dfrac{1}{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2};1; 1 - p^{2}\right)}\tag{6}$$

Por CIERTO, la evaluación de los coeficientes de $a_{n}$ general $n$ es difícil, pero Gauss resuelto completamente. Consulte este documento para más detalles sobre el cálculo de $a_{n}$.

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Otra ruta a la relación entre hipergeométrica de la serie es el uso de la ecuación diferencial satisfecho por la función $y(x) = {}_{2}F_{1}(a, b; c; x)$. La ecuación diferencial satisfecho por $y$ es dado como $$x(1 - x)y'' + \{c - (a + b + 1)x\}y' - aby = 0\tag{7}$$ Let's just write $F$ in place of ${}_{2}F_{1}$ and then we see that $y = F(a, b; 2b; x)$ satisfies the equation $$x(1 - x)y'' + \{2b - (a + b + 1)x\}y' - aby = 0$$ Putting $x = 4z/(1 + z)^{2}$ we can see that that $$\frac{dF}{dx} = \frac{(1 + z)^{3}}{4(1 - z)}\cdot\frac{dF}{dz}$$ and $$\frac{d^{2}F}{dx^{2}} = \frac{(1 + z)^{5}}{16(1 - z)^{3}}\left((1 - z^{2})\frac{d^{2}F}{dz^{2}} + (4 - 2z)\frac{dF}{dz}\right)$$ and $$x(1 - x) = \frac{4z(1 - z)^{2}}{(1 + z)^{4}}$$ and thus after some algebraic manipulation we get $$z(1 - z)(1 + z)^{2}\frac{d^{2}F}{dz^{2}} + 2(1 + z)(b - 2az + bz^{2} - z^{2})\frac{dF}{dz} - 4ab(1 - z)F = 0$$ and the function $F(a, b; 2b; 4z/(1 + z)^{2})$ satisfies this equation. If we put $F = (1 + z)^{2a}G$ we get $$z(1 - z^{2})\frac{d^{2}G}{dz^{2}} + 2\{b - (2a - b + 1)z^{2}\}\frac{dG}{dz} - 2az(1 + 2a - 2b)G = 0$$ It is easily seen that $G(-z)$ also satisfies this equation and hence $G$ is an even function and we can put $z^{2} = t$ to get $$t(1 - t)\frac{d^{2}G}{dt^{2}} + \left(b + \frac{1}{2} - \left(2a - b + \frac{3}{2}\right)t\right)\frac{dG}{dt} - a\left(a - b + \frac{1}{2}\right)G = 0\tag{8}$$ Comparing this with equation $(7)$ we see that solution $G$ is given by $$G = F(a, a - b + 1/2; b + 1/2; t) = F(a, a - b + 1/2; b + 1/2; z^{2})\tag{9}$$ However the way we reached equation $(8)$ shows us that its solution is given by $$G = (1 + z)^{-2a}F(a, b; 2b; 4z/(1 + z)^{2})\tag{10}$$ Both the solutions $(9)$ and $(10)$ are analytic in neighborhood of $0$ and they are equal to $1$ at $z = 0$ and therefore they are equal and we get the quadratic transformation of Gauss $$F\left(a, b; 2b; \frac{4z}{(1 + z)^{2}}\right) = (1 + z)^{2a}F\left(a, a - b + \frac{1}{2}; b + \frac{1}{2}; z^{2}\right)\tag{11}$$ Putting $a = 1/2, b = 1/2$ we get $$F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; \frac{4z}{(1 + z)^{2}}\right) = (1 + z)F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; z^{2}\right)\tag{12}$$ and putting $z = (1 - p)/(1 + p)$ so that $p = (1 - z)/(1 + z)$ we get $$F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1 - p^{2}\right) = \frac{2}{1 + p}F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; \frac{(1 - p)^{2}}{(1 + p)^{2}}\right)\tag{13}$$ which is the result in question. Using similar technique we can prove another quadratic transformation $$F\left(a, b; a + b + \frac{1}{2}; 4z(1 - z)\right) = F\left(2a, 2b; a + b + \frac{1}{2}; z\right)\tag{14}$$ Ver este post y el siguiente para obtener más detalles.

Answer 2

Creo que es más rápido pasar por una integral elíptica. Dado$a,b\in\mathbb{R}^+$ podemos definir$$ E(a,b)=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}} \tag{1} $ $ y observar que por la identidad de Lagrange$(a^2+x^2)(b^2+x^2)=(ax+bx)^2+(ab-x^2)^2$ y un cambio de variable adecuado tenemos$$ E(a,b)=E\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right) \tag{2}$ $ por lo tanto:$$ E(a,b)=E(AGM(a,b),AGM(a,b))=\frac{1}{AGM(a,b)}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}\tag{3} $ $ y$$ AGM(a,b) = \frac{\pi}{2 E(a,b)}\tag{4} $ $ entonces nuestro reclamo es equivalente a probar que$$\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{(1+x^2)(p^2+x^2)}} = \phantom{}_2 F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-p^2\right) \tag{5} $ $ pero estableciendo$u=\frac{1}{1+x^2}$, que simplemente se sigue de la representación integral de Euler para$\phantom{}_2 F_1$.