Estoy leyendo establecer Theorey de Enderton, en la que mostró prueba de un teorema: no hay ningún conjunto al que pertenece cada conjunto. En la prueba, escribió:
Sea A un conjunto; construimos un sistema que no pertenecen a la A. Que $B={x\in A|x\not \in x}$.
No tengo ningún problema en la comprensión de la prueba. Mi pregunta es: al lado del hecho de que $A$ es un conjunto cuyos miembros son $x$, ¿qué es $A$?
¿$A$ es un conjunto de lo que?
La idea es que el $A$ puede ser cualquier conjunto. Es como hablar de un número real "$a$". ¿Qué es $a$? Así, representa un único número real, pero no hemos especificado que uno, sin embargo; hasta que lo hagamos, sólo podemos hacer las cosas con $a$ que sabemos que podemos hacer con cualquier número real (tenga en cuenta que esto es diferente de $a$ ser una variable).
Por eso, $A$ es un arbitrario conjunto. La prueba funciona porque hemos demostrado que para cualquier conjunto de $A$, se puede construir un conjunto que no pertenecen a $A$.
En muchas de las formulaciones de la teoría de conjuntos (incluyendo presumiblemente el que se utiliza en Enderton), las únicas cosas que podemos hablar son conjuntos. Todo es un conjunto. Que explica el (lo contrario de aspecto extraño) la expresión "$x\notin x$"; no estamos acostumbrados a los conjuntos se denotan por letras minúsculas, pero en realidad los elementos de $A$ son otros de los conjuntos. Los elementos de cualquier conjunto son otros de los conjuntos, ya que los conjuntos son las únicas cosas que podemos hablar.
Creo que la pregunta es menos acerca de la notación y la más acerca de la filosofía de la teoría de conjuntos y, en particular,$ZFC$.
Cuando se llega al estudio de la teoría de conjuntos, no se le da una definición formal de la noción de un conjunto. Podría parecer un poco circular, sino un conjunto es sólo un elemento del universo de la teoría de conjuntos.
Usted puede tener la teoría de conjuntos con los átomos, es decir, elementos que no son conjuntos, y usted puede tener la teoría de conjuntos sin átomos, es decir, todo es un conjunto.
Lo que pasa es que usted entiende desde el mundo real, lo que es un conjunto. Es una colección de cosas, muchas veces es una colección de cosas que usted puede describir muy bien, es decir, existe una oración que es verdadera para todas las cosas en su colección, y sólo para ellos.
Ejemplos pueden ser "Todas las manzanas en esta casa." para describir un conjunto de manzanas, "Todas las personas registradas para las matemáticas.SE cuales son más altos que los de 1.77 m", para describir una determinada colección de los usuarios en este sitio web.
En matemáticas, sin embargo, resulta que acaba de tomar conjuntos arbitrarios pueden ser problemáticos, cosas como "La colección de todas las colecciones", y "La colección de todas las colecciones que no son en sí mismos", etc. dar lugar a algunos problemas cuando se define formalmente en el lenguaje de la teoría de conjuntos (el lenguaje que describe la $\in$-las relaciones como "ser un elemento de ...")
El resultado es que, con respecto a un determinado modelo de los axiomas de (algunos) la teoría de conjuntos, un conjunto es una colección que pasa a ser un elemento del universo.
Por ejemplo, en $ZFC$, si existe un cardinal inaccesible, entonces hay algunas $M\in V$, e $M$ es un modelo transitivo de $ZFC$. Ahora tome todos los ordinales en $M$ - esto no es un juego en $M$, mientras que el Burali-Forti paradoja de la prueba. Sin embargo, los números ordinales en $M$ es una colección que es un conjunto en $V$.
Para responder a su pregunta, en el $ZFC$ interpretación de la teoría de conjuntos, un conjunto es una colección de conjuntos, que es también un conjunto. Esto es evidente al revisar la von Neumann de la construcción del universo:
$$V_0 = \emptyset,\quad V_\alpha = \bigcup_{\beta<\alpha} \mathcal P(V_\beta)$$
Y el universo es simplemente "$V_{\mathbf{Ord}}$" donde $\mathbf{Ord}$ es la clase de todos los ordinales.
Entonces, ¿qué es un elemento de este universo? Parece que en algún momento $\alpha$ por primera vez: Si fue el conjunto vacío, entonces es un conjunto, por definición. De lo contrario, es un conjunto de cosas que apareció antes - y, por tanto, establece.
Tenemos, si es así, que cada conjunto es vacío, o de todos sus elementos son conjuntos.
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