¿Cuántos cuadriláteros no congruentes hay si especificamos que los lados son a, b, c, d y especificamos su área A?
Respuestas
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Claudio
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Si conocemos la ordenación de los lados (supongamos que los lados son a, b, c y d en ese orden), podemos observar que el cuadrilátero es fijo una vez que fijamos la longitud de una diagonal, digamos x. Utilizar la fórmula de Heron para obtener $4A = \sqrt{(a^2+b^2+x^2)^2-2(a^4+b^4+x^4)} + \sqrt{(c^2+d^2+x^2)^2-2(c^4+d^4+x^4)}$ . Dados A, a, b, c y d, resuelve para x.
weeheavy
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La respuesta es dos en general (suponiendo que las longitudes se dan cíclicamente). En cuanto a las ecuaciones cuadráticas, hay casos especiales en los que las dos coinciden y, como en el caso de la caso SSS en la construcción de triángulos, se requieren restricciones en los datos, de lo contrario no hay soluciones. Esto se puede ver suponiendo wlog que los vértices son $( 0, 0)$ , $ (1,0) $ , $(p,q)$ $ (r,s)$ . Las condiciones se reducen entonces a un sistema de cuatro ecuaciones cuadráticas que Mathematica puede resolver. La solución ocupa más de 18 páginas pero solo implica sumas, productos y raíces cuadradas. Para valores concretos se obtienen expresiones sencillas.
