¿Cómo evaluaría usted este producto? $$\displaystyle \prod_{n=0}^{100}\left(1+\dfrac{1}{a^{2^n}}\right)$ $ conozco una manera en que multiplicando el producto por $\left(1-\dfrac{1}{a}\right)$ hace el trabajo pero yo estaba buscando un enfoque más formal.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matthew Scouten
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dxiv
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No hay una buena manera de hacer esto manteniendo el Pi signo?
Deje $\,b = \dfrac{1}{a}\,$, a continuación, utilizando la identidad algebraica $\,1+b^{2^k}=\dfrac{1-b^{2^{k+1}}}{1-b^{2^k}}\,$:
$$\requieren{cancel} \prod_{n=0}^{100}\left(1+b^{2^n}\right) = \prod_{n=0}^{100} \frac{1-b^{2^{n+1}}}{1-b^{2^n}} = \frac{\prod_{\color{blue}{n=0}}^{\color{blue}{100}} \left(1-b^{2^{\color{blue}{n+1}}}\right)}{\prod_{n=0}^{100} \left(1-b^{2^{n}}\right)}=\frac{\prod_{\color{red}{n=1}}^{\color{red}{101}} \left(1-b^{2^{\color{red}{n}}}\right)}{\prod_{n=0}^{100} \left(1-b^{2^{n}}\right)} \\[10px] =\frac{\left(1-b^{2^{101}}\right) \cdot \bcancel{\prod_{n=1}^{100} \left(1-b^{2^{n}}\right)}}{\left(1-b^{2^{0}}\right) \cdot \bcancel{\prod_{n=1}^{100} \left(1-b^{2^{n}}\right)}} = \ldots $$
G Cab
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Una manera interesante de mirar este producto es darse cuenta de que está vinculado a la representación binaria de los números enteros que van desde $0$ $2^{N+1}-1$.
De hecho, desde $(1+x)(1+y)=1+x+y+xy$, entonces es fácil deducir %#% $ #% es decir, donde $${\prod {n=0}^N \left(1+x^{2^n}\right)}={\sum{0 \le k \le 2^{N+1}-1}x^k}$ abarca todos los enteros representables por los pedacitos de $k$.
guest
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Si desea conservar el signo del producto: $$\begin{align}\left(1-\frac1a\right)\prod{n=0}^{100}\left(1+\frac1{a^{2^n}}\right)&=\left(1-\frac1{a^2}\right)\prod{n=1}^{100}\left(1+\frac1{a^{2^n}}\right)\&=\left(1-\frac1{a^{2^2}}\right)\prod{n=2}^{100}\left(1+\frac1{a^{2^n}}\right)\&=\cdots\&=\left(1-\frac1{a^{2^{100}}}\right)\prod{n=100}^{100}\left(1+\frac1{a^{2^n}}\right)\&=\left(1-\frac1{a^{2^{100}}}\right)\left(1+\frac1{a^{2^{100}}}\right)=1-\frac1{a^{2^{101}}}\end{align}$ $
