Asumir que estamos trabajando en ZFC, que tenemos un % fórmula bien formado $P(x)$, que $x$ es la variable sólo libre de $P(x)$, que no hay ninguna $S$ tal que \forall x\ $$ (x\in S\iff P(x)), $$ y que $\alpha$ es un cardenal.
¿Hay necesariamente un conjunto de $T$ de cardinalidad $\alpha$ tal que \forall x\ $$ (x\in T\implies p (x)) \? $$
La respuesta es sí.
Deje $P_\alpha=\{x\in V_\alpha\mid P(x)\}$. Es decir, que lo cruzan la clase dada por $P$ con cada una de las $V_\alpha$. Así que tenemos que $P(x)\iff\exists\alpha. x\in P_\alpha$.
Definir, por recursión una función de $F(0)=0$, e $F(\alpha+1)=\beta$ si y sólo si $P_\beta$ es la primera vez que $P_{F(\alpha)}\subsetneq P_\beta$. Es decir, la primera vez que agregamos nuevos miembros. Para limitar los pasos, tomar límites.
Ahora lo que sigue es que si $\kappa$ es cualquier cardenal, a continuación, $P_{F(\kappa)}$ debe tener al menos $\kappa$ elementos. Para cualquier $\kappa$. Así que, dado que ningún cardenal $\lambda$, podemos tener algún subconjunto de $P_{F(\lambda)}$ con el derecho de la cardinalidad.
Esto es cierto.
Suponemos que, al contrario, hay un ordinal $\alpha$ tal de que ningún conjunto equinumerous a $\alpha$ está contenido en $P$. Entonces hay una más pequeña tal $\alpha$. Sin embargo, esto significa que para cada una de las $\beta<\alpha$, se puede elegir una $A_\beta$ tal que $A_\beta \subseteq P$ $|A_\beta|=|\beta|$ (el empleo de Scott truco para cortar el espacio de candidato $A_\beta$s abajo para establecer el tamaño antes de elegir frely). Pero, a continuación, $\bigcup_{\beta<\alpha} A_\beta \subseteq P$ y su cardinalidad es, al menos,$\alpha$.
En Gödel-Bernays + clase Adecuada elección, yo diría que sí.
De hecho, considere la posibilidad de su clase adecuada $A$. Ya no está vacío, hay un elemento en el interior, se $x_0$. Ahora, considere la clase adecuada de los elementos que no son $x_0$, se $x_0^{\bot}$ y se cruzan con $A$. Esto no puede ser $A$, por lo que hay otro elemento en $A$ no $x_0$, se $x_1$. Por inducción puedo obtener una inyección de ordinales en $A$.
Creo que esta prueba puede ser reformulada en ZFC + opción Universal, pero no me siento cómodo en hacerlo.
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