Esta no es la respuesta, sino un intento de encontrarla.
Es fácil encontrar un número que tome $k$ Pasos de Collatz para llegar $1$ , a saber $2^k$ . Esto, por supuesto, se vuelve inviable y excede el límite de 500 dígitos de ese sitio cuando $k>1661$ .
Por supuesto, se puede hacer mejor si no se invierte la "división por $2$ ' paso $k$ veces para obtener un número que necesita $k$ pasos, pero también pero utilizando una $3x+1$ paso cuando es posible y útil, porque así se mantiene el número pequeño.
Intenté hacerlo de forma un poco ingenua, repitiendo:
Si $x \equiv 4\ or\ 16 \mod 18$ entonces hacer $x\to (x-1)/3$ si no, hacer $x\to 2x$ .
Empecé en $x=8$ para que no se atasque en el $1,2,4$ bucle desde el principio.
BTW, la razón del mod es que el $3x+1$ regla con $x$ impar siempre da como resultado un número $4 \mod 6$ por lo que la inversa de esa regla sólo se permite si tenemos ese número. También queremos evitar obtener un $x$ que es un múltiplo de $3$ (lo que ocurre cuando la entrada $x$ es $1 \mod 9$ ) porque, de lo contrario, todos los pasos invertidos posteriores serán dobles.
El mejor resultado para un número que sigue estando dentro del límite de 500 dígitos fue uno que toma $7449$ pasos.
Está claro que la persona que encontró un número dentro de ese límite que lleva tantos pasos más debe haber estado haciendo algo mucho más inteligente.
Para su información, el $7449$ -El número de paso que encontré es:
$99128,42552,45070,58214,49794,21433,09617,71434,\\ 35751,13169,69228,12299,48208,17398,14999,66674,\\ 07909,73211,57857,75169,98703,66806,51365,17271,\\ 44964,80888,82391,81744,25916,60261,13042,03866,\\ 66103,49056,80916,51374,86393,63112,68646,00014,\\ 51265,78980,63819,41418,78232,36960,28854,91873,\\ 32045,03658,35551,66924,74284,74756,27331,65465,\\ 06917,90508,40100,42755,07304,51692,27781,51879,\\ 28347,37220,21499,69801,81717,10793,96853,00241,\\ 92286,70480,20097,55644,06511,04039,72081,20501,\\ 67137,12978,12761,35222,27067,25690,90233,93366,\\ 78269,76657,53601,98939,20113,98389,35981,59681,\\ 41626,53623,05243,67777$
Editar:
Un método diferente, pero igualmente ingenuo, consiste en probar varios números aleatorios, pero preferiblemente aquellos cuya expansión binaria termine en muchos unos, ya que éstos provocarán el $3x+1$ regla que se elija muchas veces al principio de la secuencia de Collatz, lo que hace que el número sea mayor.
El mejor número de 500 dígitos que he encontrado utiliza $25858$ pasos, y es:
$16910 \cdot 2^{1646} - 1=$
$52907,40618,32017,54152,63867,78240,01344,94071,\\ 10672,87955,14970,95443,32426,37432,94723,15343,\\ 69589,15667,94197,77289,84251,30595,66986,13736,\\ 01999,30240,57853,88392,15872,66353,93648,16021,\\ 76528,02318,47325,39772,11544,04475,63943,10264,\\ 65156,58431,35122,30262,85026,21429,61128,92928,\\ 64147,40168,11368,14718,14844,43105,54823,58463,\\ 32284,16963,01649,12670,32815,41060,21677,81365,\\ 13557,54204,91127,46553,29004,21933,21888,08910,\\ 76179,94524,51718,32033,27205,55270,66366,57606,\\ 00582,53081,68267,14042,35673,44288,21454,35891,\\ 44482,68697,66804,20865,40074,26362,70517,10800,\\ 03191,26585,23809,38239$
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Dado que conocemos tan pocas generalidades sobre el mapa de Collatz, mi conjetura inmediata sería que si alguien sabe que existe un número que tarda 62.118 pasos en llegar a 1, es porque ha encontrado tal número explícitamente y lo ha comprobado.
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@Arthur sí, eso es lo que estoy tratando de averiguar, si alguien sabe el valor de este número ?
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Hice una búsqueda aleatoria durante la noche en el rango $10^{500}-1\geq x\leq 10^{499}-1$ números de prueba con una densidad de uno en $2^{1599}$ en los enteros impar y la secuencia más larga encontrada fue la de $10^{500}-1$ con $16336$ pasos. Lo que esto pone de relieve es que los valores atípicos son relativamente esporádicos. Una estrategia mejor puede ser seleccionar números altos en el rango cuyas propiedades modulares garanticen que inicialmente subirán de forma significativa. Desde luego, he probado el mismo número muchas veces y habrá métodos más eficaces