Por qué es $\left(I - M M^T \right)^{-1} M = M\left(I - M^T M \right)^{-1}$

Question

Al intentar generalizar una cierta fórmula al caso escalar para el caso de la matriz, me encontré con la siguiente observación curiosa:

Que $M$ ser una real, no necesariamente la matriz cuadrada, entonces % $ $$\left(I - M M^T \right)^{-1} M = M\left(I - M^T M \right)^{-1}$que parece ser cierto en general. Que se sostiene, por ejemplo, para esto al azar caso $$ M = \left (\begin{array}{ccc} -1 & 7 & -4 \ -1 & 5 & 7 \ -4 & 7 & 4 \ -2 & -5 & 0 \ 2 & -1 & -6 \ \end{matriz} \right)$$

Aunque ejemplos numéricos me convencieron de que esto es cierto, no entiendo por qué. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Gracias a @Empy2, solo multiplique ambos lados con el "denominador" del otro lado: $$\left(I - M M^T \right)^{-1} M = M\left(I - M^T M \right)^{-1}$ $ $$\iff M \left(I - M^T M \right) = \left(I - M M^T \right) M$ $ $$\iff M - M M^T M = M - M M^T M$ $

Answer 2

Más en detalle tenemos si $M$ es una matriz n-por-m

• $X=I - MM^T$ es una matriz n-por-n
• $Y=I - M^T M$ es una matriz de m por m

y por lo tanto

$$X{n\times n}^{-1}M{n\times m}=M{n\times m}Y{m\times m}^{-1}$$

$$X{n\times n}X{n\times n}^{-1}M{n\times m}Y{m\times m}=X{n\times n}M{n\times m}Y{m\times m}^{-1}Y{m\times m}$$

$$I{n\times n}M{n\times m}Y{m\times m}=X{n\times n}M{n\times m}I{m\times m}$$

$$M{n\times m}Y{m\times m}=X{n\times n}M{n\times m}$$

Es decir

$$M \left(I - M^T M \right) = \left(I - M M^T \right) M$$