Deje $f : A\to B$. Si $\{B_1,B_2,\dots,B_n\}$ es una partición de a $B$, demuestran que, a $\{f^{-1}(B_1),f^{-1}(B_2),\dots,f^{-1}(B_n)\}$ es la partición de $A$.
Me acerqué a ella como la siguiente:
Desde $f^{-1}$ existe $f$ debe ser uno a uno y sobre. Así, para cada $x$ $A$ existe una clara imagen en $B$ bajo $A$. Conversar, "para cada una de las $y$ $B$ no es distinta a la pre-imagen en $f$". Esto implica que podemos definir un conjunto $A_i \subseteq A$, que es el conjunto de todos los elementos en cuya imagen se encuentra en $B_i$ bajo $f$ es decir, $A_i=_f^{-1}(B_i)$. Desde $f$ es a $f$ cubre todos los de $B$ y, por tanto, de la unión de $A_i$s es igual a $A$.
Desde $B_i$ es conjunto no vacío, existe una $y$ $B_i$ tal que $f(x)=y$. Esto significa que $x$ es la pre-imagen de $y$ bajo $f$. Por lo tanto $x$ pertenece a $A_i$. Por lo $A_i$ es no vacío.
Ahora desde $B_i \cap B_j$ está vacía si $i\ne j$, ellos no $y$ que pertenece a los dos $B_i$$B_j$. Ahora $f$ es uno de lo que no hay pre-imagen de $x$ que pertenece a los dos $A_i$$A_j$. Por lo $A_i \cap A_j$ está vacía. Por lo tanto conjunto de todos los $A_i$s forman una partición de $A$.
Creo que mi lógica es correcta, pero ¿alguien me puede ayudar lo ha escrito de manera formal. También, ya que hay una correspondencia entre las relaciones de equivalencia y particiones, cómo acercarse a este uso de las relaciones.
