Una explicación intuitiva de la expansión de Taylor

Question

¿Podrías proporcionar una explicación geométrica de la expansión en serie de Taylor?

Answer 1

Sabemos que cuanto mayor es el grado de una ecuación, más "puntos de inflexión" puede tener. Por ejemplo, una parábola tiene un "punto de inflexión".

(Una parábola tiene una ecuación de la forma $y=ax^2 + bx +c$.)

Un cúbico de la forma $y=ax^3 + bx^2 +cx +d$ puede tener hasta dos "puntos de inflexión", aunque puede tener menos. En general, una ecuación de grado $n$ puede tener hasta $n-1$ puntos de inflexión.

(Aquí está el polinomio $f(x) = 2x^4 - x^3 -3x^2 + 7x - 13$. Es de grado 4 y tiene el número máximo de puntos de inflexión, 4-1=3. Sin embargo, ten en cuenta que algunos polinomios de grado 4 solo tienen uno o dos puntos de inflexión. El grado nos da el número MÁXIMO: $n-1$.)

Esto es importante porque, si deseas utilizar un polinomio para aproximar una función, querrás usar un polinomio de grado suficientemente alto para que se ajuste a las "características" de la función. La serie de Taylor te permitirá hacer esto con funciones que son "infinitamente diferenciables", ya que utiliza las derivadas de la función para aproximar el comportamiento de las funciones.

Aquí tienes polinomios de Taylor de creciente grado y la curva seno. Observa cómo "envuelven" la curva seno, proporcionando una aproximación que se ajusta cada vez mejor sobre más de la curva a medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor.

(Fuente de esta imagen: http://202.38.126.65/navigate/math/history/Mathematicians/Taylor.html)

Dado que la curva seno tiene muchos puntos de inflexión es fácil ver que para igualar todas las características de la curva seno necesitaremos tomar el límite del polinomio de Taylor de grado $n^{th}$ a medida que $n \rightarrow \infty$.*

Esa es la intuición detrás de la serie de Taylor. Cuanto mayor sea el grado, mejor será el "ajuste". ¿Por qué? Porque las curvas de mayor grado tienen más "puntos de inflexión" por lo que pueden ajustarse mejor a la forma de cosas como la función seno. (Siempre y cuando la función que estamos aproximando sea diferenciable).

*Nota: Una función puede tener solo algunos puntos de inflexión y aún así necesitar infinitos términos del polinomio de Taylor. Toma la catenaria, por ejemplo, que solo tiene un punto de inflexión ya que se parece a una parábola. La serie de Taylor para la catenaria no tendrá ningún término donde los coeficientes sean cero, ya que las derivadas de la catenaria son funciones hiperbólicas sinusoidales.

Pero, incluso con la catenaria, los polinomios de mayor grado dan una mejor aproximación.

Answer 2

Lo intentaré: Si quieres saber dónde estarás en x tiempo conduciendo un coche, puedes averiguarlo separando los diferentes componentes: posición en el momento, velocidad, aceleración, sacudida, etc. y sumándolos todos juntos.

Answer 3

Piensa en una serie de Taylor no como una entidad única, sino como una secuencia de aproximaciones.

El primer término da una aproximación constante: $f(x + h)$ es aproximadamente $f(x).$

Los dos primeros términos dan una aproximación lineal: $f(x + h)$ es aproximadamente $f(x)$ más un término de tendencia, $h f'(x).$

Los tres primeros términos incluyen una aproximación constante, una tendencia lineal y un término de curvatura para tener en cuenta el cambio en la tendencia lineal: f(x + h) es aproximadamente $f(x) + h f'(x) + h^2 \dfrac{f''(x)}{2}.$

Luego agregas un término para tener en cuenta el cambio en la curvatura, etc.

Answer 4

Predice global mientras calculas localmente!

Una expansión de Taylor de una función $f$ alrededor de algún valor $x_0$ es similar a una predicción de la función en un valor vecino $x$ sabiendo progresivamente más sobre la variación de $f$ en el punto $x_0$.

Primer paso: predicción más fácil: nada cambió, es decir, $f(x) = f(x_0)$

Segundo paso: conocemos la primera derivada, así que predecimos que la función fue lineal entre $x_0$ y $x$: $f(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0)$. Mira, todo sigue siendo local ya que la derivada se conoce en $x_0$.

El próximo paso da una generalización de estas predicciones para derivadas más altas. Las diferentes formas establecen límites al error o brindan más conocimiento del residuo.

Answer 5

Estamos aproximando una función por polinomios en un punto. Como primera aproximación, proporcionamos un polinomio cuyo valor en ese punto es igual al de la función. En el segundo paso, hacemos que la primera derivada también sea igual. En el tercer paso, se iguala la segunda derivada y así sucesivamente...