Diferencia entre la descomposición de Cholesky y la descomposición de log-cholesky

Question

Hay alguna diferencia entre una descomposición de Cholesky, y un log-descomposición de cholesky? Si sí, ¿cuál es la diferencia?

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En el papel de "Un paquete de R para la dinámica de modelos lineales" por Giovanni Petris ( se refiere al papel de "sin Restricciones el proceso de parametrización de Varianza-Covarianza de las Matrices" por Pinheiro y Bates (1996)).

En este caso, ya que el modelo no es un estándar, usamos el general crear dlm para definir una generación que se utiliza posteriormente para encontrar la Emv de los parámetros del modelo. Con el fin DE evitar un problema de optimización con complicadas restricciones, se parametrizar V en términos de los elementos de su registro-descomposición de Cholesky

Sé que "la descomposición de Cholesky," $L L^T$

$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}l_{11} & 0 & 0 \\l_{21} & l_{22} & 0\\ l_{31} & l_{32} & l_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_{11} & l_{21} & l_{31} \\0 & l_{22} & l_{23}\\ 0 & 0 & l_{33}\end{bmatrix} \qquad , $

pero yo no sé "Log-Cholesky de la descomposición".

Answer 1

Creo que es menos confuso para llamar la log-Cholesky paramet(e)rization en lugar de la de registro-Cholesky de descomposición (es decir, la "descomposición" de la parte que no cambia ...)

De Pinheiro de la tesis (1994, la UW-Madison) - creo que tiene la misma información que el papel en el que se citan:

6.1.2 Registro-Cholesky Parametrización Si uno requiere de los elementos de la diagonal de a $\boldsymbol L$ en la factorización de Cholesky para ser positivo, $\boldsymbol L$ es única. Con el fin de evitar limitada de estimación, se puede el uso de los logaritmos de los elementos de la diagonal de $\boldsymbol L$. Llamamos a esta parametrización el registro Cholesky parametrización. Hereda las buenas propiedades de cálculo de la Cholesky, parametrización, pero tiene la ventaja de ser única definido.

En otras palabras, en su notación sería:

\begin{bmatrix} \log(l_{11}) & 0 & 0 \\ l_{21} & \log(l_{22}) & 0\\ l_{31} & l_{32} & \log(l_{33})\end{bmatrix}

Para lo que vale, cuando la definición de un parámetro de vector para un modelo también es necesario definir un orden en el que la matriz de desembalar; por ejemplo, en lme4 el registro Cholesky triángulo inferior es descomprimido en la columna-de primer orden, es decir,$\theta_1 = \log(l_{11})$, $\theta_2=l_{21}$, $\theta_3=l_{31}$, $\theta_4=\log(l_{22})$, ...