Hesaplamak

Question

Calcular$$\lim_{x\to{0^+}}\frac{\log_{\sin{x}}{\cos{x}}}{\log_{\sin{\frac{x}{2}}}\cos{\frac{x}{2}}}$ $

Mi intento:

ps

ps

ps

ps

ps

ps

¿Estoy resolviendo esto correcto?

Answer 1

Estás en lo correcto. Esta es otra forma de proceder: si$x\to 0^+$ luego usando expansiones de Taylor obatin$$f(x):=\log_{\sin(x)}{(\cos (x))}=\frac{\log(\cos(x))}{\log(\sin(x))}=\frac{\log(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))}{\log (x+o(x^2))}\sim-\frac{x^2}{2\log(x)},$ $ y se deduce que para cualquier$a>0$,$$\lim_{x\to{0^+}}\frac{\log_{\sin(x)}{\cos(x)}}{\log_{\sin(ax)}\cos(ax)}=\lim_{x\to{0^+}}\frac{f(x)}{f(ax)}=\lim_{x\to{0^+}}\frac{-\frac{x^2}{2\log(x)}}{-\frac{(ax)^2}{2\log(ax)}}=\lim_{x\to{0^+}}\frac{\log(x)+\log(a)}{a^2\log(x)}=\frac{1}{a^2}.$ $ En su caso$a=1/2$ y el límite es$4$.

Answer 2

Sí se ve bien, como una alternativa similar podemos utilizar

$$\log_{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac12\log_{\sin{x}}{\cos^2{x}}=\frac12\log_{\sin{x}}{(1-\sin^2{x})}=\frac12\frac{\log{(1-\sin^2{x})}}{\log {\sin{x}}}$$

$$\log_{\sin{(x/2)}}{\cos{(x/2)}}=\frac12\frac{\log{(1-\sin^2{(x/2)})}}{\log {\sin{(x/2)}}}$$

entonces

$$\frac{\log_{\sin{x}}{\cos{x}}}{\log_{\sin{(x/2)}}{\cos{(x/2)}}} =\frac{\log{(1-\sin^2{x})}}{ {\log{(1-\sin^2{(x/2)})}}} \frac{\log {\sin{(x/2)}}}{\log\sin{x}}=$$

$$a=\frac{\log{(1-\sin^2{x})}}{-\sin^2 x} \frac{-\sin^2 (x/2)}{ {\log{(1-\sin^2{(x/2)})}}} \frac{\sin^2 x}{x^2} \frac{4(x/2)^2}{\sin^2 (x/2)} \frac{\log {\sin{(x/2)}}}{\log 2+\log\sin{(x/2)}+\log \cos (x/2)}$$$$\to 1\cdot 1\cdot 1 \cdot 4 \cdot 1=4$$

Answer 3

Usted puede volver a escribir la función como $$ \frac{\log\cos(x)}{\log\cos(x/2)}\frac{\log\sin(x/2)}{\log\sin(x)} $$ La primera fracción es fácil tratar con: $$ \log\cos x=\log(1-x^2/2+o(x^2))=-\frac{x^2}{2}+o(x^2) $$ y del mismo modo $$ \log\cos\frac{x}{2}=\log(1-x^2/8+o(x^2))=-\frac{x^2}{8}+o(x^2) $$ Por lo tanto $$ \lim_{x\to0}\frac{\log\cos(x)}{\log\cos(x/2)}=4 $$ Para la segunda fracción, es más fácil considerar $x=2t$, por lo que el límite se convierte en $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\log\sin(t)}{\log\sin(2t)}= \lim_{t\to0^+}\frac{\dfrac{\cos(t)}{\sin(t)}}{\dfrac{2\cos(2t)}{\sin(2t)}}= \lim_{t\to0^+}\frac{\cos(t)}{\cos(2t)}\frac{\sin(2t)}{2\sin(t)}=1 $$ con una simple aplicación de l'Hôpital.