No, posets no son álgebras de, al menos, en la interpretación más común de ese término. El problema es con los cocientes de las relaciones de equivalencia. Considerar el poset $P=\{a\leq b,c\leq d\}$ con la equivalencia de la relación de $\sim$ generado por $b\sim c$. El cociente por esta relación de equivalencia es el poset $Q=\{a\leq [b]\leq d\}$, donde por transitividad $a\leq d$ es forzado. Es este extra "generado" relación que provoca el problema. Considerar la restricción del mapa $p:P\to Q$$p^{-1}(a\leq d)\to a\leq d$. Ahora, $p^{-1}(a\leq d)$ es sólo la discreta poset $\{a,d\}$. Pero los morfismos $\{a,d\}\to\{a\leq d\}$ no es el cociente de ruta para la restricción de $\sim$$\{a,d\}$. De hecho, no es el cociente por cualquier relación de equivalencia.
Este tipo de fenómeno no ocurre en categorías de álgebras. Si $A$ es un álgebra para una teoría algebraica con una equivalencia de la relación de $\sim$ y restringir el cociente mapa de $A\to A/{\sim}$ a algunos subalgebra de la codominio, siempre nos dan un mapa que es también un cociente por una relación de equivalencia. La explicación para esto es que los cocientes por las relaciones de equivalencia son construidos en álgebras sólo por tomar el cociente sobre el subyacente de conjuntos, entonces canónicamente la inducción de nuevas operaciones. En el ejemplo más conocido de los grupos, esta historia se corresponde con el pensamiento de un cociente mapa de $G\to G/N$ por un subgrupo normal en lugar de como el cociente por la relación de equivalencia $g\sim h\iff gh^{-1}\in N$. (En la mayoría de los algebraicas teorías, incluyendo algunos familiares como monoids, no hay una noción útil de la normal de subobjeto, por lo que la relación de equivalencia enfoque es mucho más general.) Un subgrupo de $G/N$ tiene su inverso imagen de un subgrupo de $G$ cerrado bajo $\sim$, por lo que la restricción del cociente mapa es de hecho un cociente mapa.
Para ver que este argumento demuestra que es imposible darse cuenta de posets como álgebras de una teoría algebraica, debemos aclarar un par de cosas. En primer lugar, ninguno de los conceptos que he usado anteriormente dependen de la elección de los olvidadizos functor en conjuntos. Por ejemplo, una "relación de equivalencia" en un objeto $X$ de una categoría con límites finitos me refiero a un subobjeto $R$ $X\times X$ de manera tal que la diagonal mapa de $X\to X\times X$ factores a través de $R$ (reflexividad), $R$ factores a través de su compuesto con el mapa de $X\times X\to X\times X$ que intercambia los factores (simetría), y la retirada de $R\times_X R\subset X\times X\times X$ durante la primera y la última factores de $X$ factores a través de $R$ (transitividad.) El "cociente por una relación de equivalencia" es un habitual epimorphism.
Así, categóricamente, que el argumento ha sido que en la categoría de parque natural posets, el retroceso de regular epimorphism no se necesita ser un regular epimorphism, a diferencia de en cualquier categoría de álgebras. Esta es una de las propiedades de definición de una categoría regular, así que la razón por la que posets no son álgebras es que ellos no forman una categoría regular.
