Mi pregunta surge como parte de la comprensión de un análogo de la normalización de singular curvas. Suponga que $C$ es una curva y que $p\in C$ es un punto singular de $C$ (y sólo uno por simplicidad). Luego de la normalización $\widetilde C\to C$ pegamentos de dos puntos de $\widetilde C$, o, para parafrasear a esto un poco, pegamentos $\widetilde C$ a lo largo de dos puntos. (Esto es lo que le sucede a un nodal de la curva. Si $C$ es cuspidal, a continuación, un punto junto con la dirección de la tangente es asignado a un punto, pero vamos a apegarnos a la nodales caso, de nuevo por motivos de simplicidad).
Ahora, vamos a considerar el siguiente: Vamos a $S$ ser una superficie de tener una curva de singularidad a lo largo de una curva suave $C$, dicen que un nodo. Luego de la normalización de $C$ es un mapa de la superficie lisa $\widetilde S$ $S$que se asigna dos curvas de $C_1,C_2\cong C, C_1\cap C_2=\emptyset$ $S$ a la curva de $C$. De nuevo, podemos reformular esta y decir que es pegamentos $\widetilde S$ a lo largo de las curvas de $C_1,C_2$. La condición de $C_1\cap C_2=\emptyset$ proviene del hecho de que la curva de $C$ $S$ es suave.
Como ya se ha indicado, si las curvas de $C_1,C_2$ $\widetilde S$ intersectan, entonces espero que la curva de $C$ que es la singular locus de $S$, para ser singular así. También la condición de $C_1,C_2\cong C$ debe convertirse $C_1,C_2\cong \widetilde C$, en este caso, por lo que todavía tenemos curvas suaves en $\widetilde S$. ($\widetilde C$ denota la normalización de $C$.)
Mi pregunta ahora es la siguiente:
0) Siguiendo la sugerencia de @bajarse de Internet, dada una superficie lisa $S'$ y una curva suave $C'$ junto con un $2-1$ mapa de $C'$ a otro de la curva de $C$, lo que puede tener singularidades, ¿existe una superficie S de haber singularidades a lo largo de C, cuya normalización de la superficie original $S'$?
1) ¿Podemos decir algo acerca de la singularidad de $S$ en la imagen del punto de intersección $C_1\cap C_2\in \widetilde S$? Si no, ¿cómo acerca de la singularidad de $C$ en este punto?
2) La normalización $\widetilde S\to S$ proporciona una desingularization de $S$ y es mínimo debido a la característica universal de la normalización. Si hemos incorporado $S\hookrightarrow V$ donde $V$ es una variedad lisa, entonces podemos blow-up $V$ varias veces y terminar con $\widetilde S\hookrightarrow \widetilde V$ donde $\widetilde V$ denota la cámara de $V$. Es claro que en $C_1,C_2$ se encuentra una $\mathbb P^1$-paquete que se contrate. Basta pensar en el caso de un nodal de la curva de $C$. Sin embargo, esto es mucho menos clara sobre el punto de intersección de las $C_1,C_2$. Espero que a través de este punto de la $\mathbb P^1$-paquetes sólo se cruzan y no pasa nada malo, pero yo no puedo ver ninguna razón formal para que. Alguien me puede ayudar con eso?
3) ¿hay una manera de hacer nuestra vida más sencilla, es decir, hacer que las curvas de $C_1,C_2$ discontinuo de nuevo? Probablemente por la voladura $\widetilde S$ en el punto de intersección de estas curvas?
Cualquier ayuda será muy apreciada. Comentarios sobre el problema también son muy bienvenidos.
Aquí es una especie de mínimo ejemplo que tengo en mente: Vamos a $C$ ser una curva suave y considerar que el producto $\widetilde S = C\times C$ junto con la proyección de $S\to C$. Si en el primer o el segundo factor no importa, pero digamos que en el primer factor. Entonces tenemos dos secciones de $S$. La primera es la sección $s_p: q\mapsto (q,p)$ ( $p\in C$ ) y la otra es $d: q\mapsto (q,q)$. Nos deja denotar sus imágenes por $S_p,D$, respectivamente. Obviamente, $S_p,D\cong C$ y se intersecan en el punto de $(p,p)$ y en ningún otro lugar. Si nos pegue, se obtiene una superficie de $S$ que podemos considerar todavía como sentado sobre $C$. Las fibras de $S\to C$ son entonces nodal curvas degenerando a un cuspidal uno (=la fibra de más de $p$). Sin embargo, estoy muy seguro acerca de las singularidades de $S$, y de cómo su singular locus parece. Mi impresión es que tengo nodos a lo largo de $C\setminus\{p\}$, y que el singular lugar geométrico es una cuspidal de la curva cuya normalización es $C$. Pero soy incapaz de dar un argumento formal para esto y por lo tanto no estoy siquiera seguro de si esto es correcto. También si esto refleja la situación general no es claro para mí. Yo sólo pensé que este ejemplo podría ayudar.
Esto también me lleva a la formulación de la parte 3) de mi pregunta. La voladura $\widetilde S$ $(p,p)$ separa las dos secciones $S_p$$D$. Pero luego he añadido una curva en $\widetilde S$ que proviene del divisor excepcional de la blow-up y se parece más complicado para mí. Al menos mi confusión aumenta.
Incluso respuestas parciales o algunos intuición de lo que podría estar sucediendo será útil para mí.
