Aproximación de la función suave en$[0,1]$ por polinomio de Bernstein (interesado en la tasa de aproximación en$L^2$ norma)

Question

Considere una función suave$f$ en$[0,1]$ y su polinomio de poder Bernstein$n$%:$$B_n(f)=\sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) b_{n,k}(x)$ $ con$$b_{n,k}(x) = \binom{n}{k}x^k (1-x)^{n-k}.$ $

Es bien sabido que$$\sup_{x \in[0,1]} |B_n(f)(x)-f(x)|=O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$ $

¿Pero qué pasa si uno considera la norma$L^2$ en vez de la norma$L^{\infty}$? ¿El poder de aproximación será mejor en$L^2$ norma? En particular, ¿es posible concluir que$$\left(\int_{0}^1 (B_n(f)(x)-f(x))^2 dx \right)^{\frac{1}{2}}=O\left(\frac{1}{n}\right)?$ $

Answer 1

Página 206 del libro Bernstein Operators and Their Properties establece para$f\in C^2[0,1]$:$$B_n(f,x)-f(x)=\frac{x(1-x)}{2n}f''(x)+o\left(\frac{1}{n}\right)$ $

y cita

EV Voronovskaya, El comportamiento asintótico de la aproximación de funciones por sus polinomios de Bernstein. Doklady SSSR 4, 79-85 (1932) (en ruso)

Answer 2

Yo no lo creo. Yo no piense en esto por un largo tiempo, pero supongo que se le puede adaptar la prueba del Teorema 2 en [Jones, Douglas H. La norma L2 de la aproximación de error para los polinomios de Bernstein. J. Teoría de la Aproximación 18 (1976), no. 4, 307-315], https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021904576900010, y hacer el peor de los casos su función (que no es mejor que lo que sigue de la $L^\infty$ asunción) liso.