¿Cuándo es $ 999\cdots$ ¿un cuadrado perfecto?

Question

Me interesa mirar más sobre la propiedad de este número $ 999\cdots$ , para los dígitos pares que forman ese número está claro que no es un cuadrado perfecto por ejemplo : $ 99=10^2-1,9999=10^4-1,\cdots$ Ahora mi pregunta es: ¿qué pasa si el número de dígitos de $ 999\cdots$ ¿Es impar? ¿Cómo puedo probar o refutar que es un cuadrado perfecto o no?

Nota: El caso trivial es para $n=1$ que es $9$

Answer 1

Escribe: $$10^{2n+1}-1 = a^2$$

así que $a=2k+1$ y ahora tenemos $$2^{2n+1}5^{2n+1}= 2\underbrace{(2k^2+ 2k+1)}_{\rm odd}$$

así que $2^{2n+1}=2$ y por lo tanto $n=0$ . Finalmente tenemos $9 = a^2$ así que $a=3$ .

Answer 2

El único número formado totalmente por nueves que es un cuadrado perfecto es $9$ sí mismo.

Supongamos que $999$ eran un cuadrado perfecto. Tendría la forma $(2n+1)^2$ con $n$ un número entero. Por lo tanto,

$(2n+1)^2=4n^2+4n+1=999$

$4n(n+1)=998$

Así que $998$ tiene que ser un múltiplo de $4$ pero eso no funciona porque los dos últimos dígitos $98$ tendría que ser un múltiplo de $4$ y no son realmente así. Así, la segunda ecuación anterior no tiene soluciones de números enteros, la primera ecuación tampoco puede tenerlas y $999$ no es un cuadrado perfecto.

Lo mismo ocurre con cualquier número que termina en $99$ ya que los dos últimos dígitos son los que deciden en última instancia qué puede ser un múltiplo de $4$ . Por lo tanto, una vez que tenemos dos nueves al final, nunca puede haber un cuadrado perfecto.

Answer 3

Cualquier cuadrado perfecto impar es de la forma $4k+1$ para algunos $k$ . Ahora dejemos que $$a^2=10^{n}-1$$ si $n\ge 2$ tenemos $$a^2=10^2\cdot10^{n-2}-1=4k-1$$ que no puede ser un cuadrado perfecto. Así que el único cuadrado perfecto puede estar entre esos números con $$0\le n<2$$ o $$0,9$$ que son las únicas soluciones.

Answer 4

Para hacer $\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{ many}}$ un cuadrado perfecto, necesitamos $9\cdot\underbrace{111\cdots 1}_{n\text{ many}} $ un cuadrado perfecto. Como, $9$ ya es un cuadrado perfecto, necesitamos $\underbrace{111\cdots 1}_{n\text{ many}}$ para ser un cuadrado perfecto. Pero, observa que, $$11\equiv 3\pmod{4}\\ 111\equiv 3\pmod{4} \\ 1111\equiv 3\pmod{4}$$ en general, $$\underbrace{111\cdots 1}_{n\text{ many}}=2\underbrace{77\cdots 7}_{n-2\text{ many}}×4+3\equiv 3\pmod{4}$$

Pero, cualquier cuadrado perfecto impar puede ser de la forma $4k+1$ . Por lo tanto, ninguno de los números es un cuadrado perfecto.