Las funciones que son de su Propia enésima Derivados para la Real n

Question

Considere la posibilidad (no trivial) funciones que son de su propia enésima derivados. Por ejemplo

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x$

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} e^{-x} = e^{-x}$

$\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} e^{\frac{-x}{2}}\sin(\frac{\sqrt{3}x}{2}) = e^{\frac{-x}{2}}\sin(\frac{\sqrt{3}x}{2})$

$\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}x^4} \sin x = \sin x$

$\cdots$

Deje $f_n(x)$ ser la función que es propia n-ésima derivada. Creo (pero no estoy seguro) para el número entero no negativo n, esta función se puede escribir como la siguiente infinita polinomio:

$f_n(x) = 1 + \cos(\frac{2\pi}{n})x + \cos(\frac{4\pi}{n})\frac{x^2}{2!} + \cos(\frac{6\pi}{n})\frac{x^3}{3!} + \cdots + \cos(\frac{2t\pi}{n})\frac{x^t}{t!} + \cdots$

¿Hay algún sentido en el que esta función puede ser extendido a la real n el uso de fracciones de derivados? Sería posible gráfica de $z(n, x) = f_n(x)$, y esta función de ser suave y continuo en ambos n y ejes x? O tendría muchas discontinuidades?

Answer 1

El conjunto de funciones de $f$ tal que $f^{(n)}-f=0$ es un espacio vectorial de dimensión $n$, distribuidos por las funciones $e^{\lambda t}$ $\lambda$ $n$th raíz de la unidad. En particular, hay muchas de esas funciones, no sólo uno: el general de la función es de la forma $$f(t)=\sum_{k=0}^{n-1}a_ke^{\exp(2\pi i k/n)t}.$$ Esto se explica, en cada texto, sobre ordinario diffential ecuaciones; recuerdo con cariño, por ejemplo, la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por Earl A. Coddington y Norman Levinson, pero estoy seguro de que usted puede encontrar la más moderna de las exposiciones en cada biblioteca.

Answer 2

Lo que interesa aquí son lo que Spanier y Oldham término "cyclodifferential funciones", las funciones que se regenera después de ser differintegrated a la correspondiente orden de (o para decirlo de otra manera, las funciones que son funciones propias de la differintegration operador).

Para el cyclodifferential ecuación

$${}_0 D_x^{\alpha}y=y$$

(o en más familiarizado con la notación, $$\frac{\mathrm{d}^{\alpha}y}{\mathrm{d}x^{\alpha}}=y$$, pero el problema con esta notación en la configuración de differintegrals es que se niega a tomar el límite inferior que está presente tanto en el Caputo y Riemann-Liouville definiciones en cuenta).

como usted podría haber visto, $\exp(x)$ es un cyclodifferential función de ${}_0 D_x^1 y$ ($\exp(x)$ es su propia derivada), $\cosh(x)$ $\sinh(x)$ son cyclodifferentials para ${}_0 D_x^2 y$ (diferenciar esas dos funciones dos veces le da los originales);

$$\frac1{\sqrt{\pi x}}+\exp(x)\mathrm{erfc}(-\sqrt{x})$$

($\mathrm{erfc}(x)$ es la función complementaria de error)

es un cyclodifferential para ${}_0 D_x^{\frac12} y$ (es su propio semiderivative), y en general

$$x^{\alpha-1}\sum_{j=0}^\infty \frac{C^j x^{\alpha j}}{\Gamma(\alpha(j+1))}$$

para $\alpha > 0$ $C$ adecuado autovalor, es un cyclodifferential para ${}_0 D_x^{\alpha}$.

Answer 3

Las soluciones de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes $$ a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0$$ corresponden a las raíces de la "auxiliar polinomio" $a_nt^n + \cdots + a_0$. Si el polinomio tiene raíces $r_1,\ldots,r_k$ (en números complejos), con multiplicidades $a_1,\ldots,a_k$, entonces una base para las soluciones está dado por $${ e^{r_1x}, xe^{r_1x},\ldots, x^{a_1-1}e^{r_1x},e^{r_2x},\ldots,x^{a_k-1}e^{r_kx}}.$$ Aquí, el complejo exponencial se utiliza, por lo que si $a$ $b$ son números reales e $i$ es la raíz cuadrada de $-1$, tenemos $$e^{a+bi} = e^a(\cos(b) + i \sin(b)).$$

En su caso, usted está buscando en el polinomio $t^n - 1 = 0$, cuyas raíces son la $n$th raíces de la unidad. Todos ellos son distintos, así que usted puede tomar el exponenciales complejas, o el real y piezas complejas. Así que si $\lambda$ es una primitiva $n$th raíz de $1$, entonces una base para el espacio de soluciones es $$ e^x, e^{\lambda x}, e^{\lambda^2 x},\ldots,e^{\lambda^{n-1}x}.$$ La solución general es una combinación lineal de estos con coeficientes complejos: $$f(x) = a_0e^x + a_1e^{\lambda x} + a_2e^{\lambda^2x}+\cdots+a_{n-1}e^{\lambda^{n-1}x},\qquad a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{C}.$$ Si no desea que los valores complejos, usted puede tomar una forma general como en el anterior, y tomar el verdadero y complejo de partes por separado.

Answer 4

Lo siento para dar otra respuesta que no aborda el problema de la fracción de $n$ [parece que fraccional derivados no son un tema familiar para muchos matemáticos de investigación; ciertamente no son para mí], pero:

Hay un pequeño problema aquí que no se ha abordado. Por el contexto de la OP pregunta, deduzco que s/él está buscando el valor real de las funciones que son iguales a su $n$th derivado (y no su $k$th derivados de $k < n$). Varios ms responden han mencionado que el conjunto de soluciones a $f^{n} = 0$ forma $n$-dimensional espacio vectorial. Pero sobre qué campo? Es más fácil identificar el espacio de tales valores complejos de funciones, es decir, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$: es decir, un $\mathbb{C}$-base está dada por $f(x) = e^{2 \pi i k/n}$$0 \leq k < n$. Pero ¿qué nos dice esto acerca de la $\mathbb{R}$-espacio vectorial real de los valores de las soluciones a esta ecuación diferencial?

La respuesta es que es $n$-dimensional como una $\mathbb{R}$-espacio vectorial, a pesar de que no tiene un obvio y agradable.

Deje $W$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial real de las funciones con valores de $f$ $f^{(n)} = 0$ $V$ $\mathbb{C}$- espacio vectorial de $\mathbb{C}$valores de las funciones de $f$$f^{(n)} = 0$.

Hay una inclusión natural de mapa de $W \mapsto V$. Enunciado de manera algebraica, la pregunta es si la inducida por el mapa de $L: W \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \rightarrow V$ es un isomorfismo de $\mathbb{C}$-espacios vectoriales. En otras palabras, esto significa que cualquier $\mathbb{R}$-base de $W$ $\mathbb{C}$- base de $V$. Ciertamente, esto no es automático. Por ejemplo, la visualización del plano Euclidiano como primer $\mathbb{R}^2$, y la segunda como $\mathbb{C}$ da un mapa $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ , lo que ciertamente no induce un isomorfismo sobre tensoring con $\mathbb{C}$, desde el primer espacio (real) dimensión$2$, pero el segundo espacio (complejo) dimensión $1$.

Para más información sobre esto, vea el Teorema 1.6 de

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/galoistheory/galoisdescent.pdf

Resulta que este es en realidad un problema de Galois descenso: de acuerdo con el Teorema 2.14 de las notas de Keith Conrad ya se citó anteriormente, el mapa de $L$ es un isomorfismo si existe un conjugado-lineal de la involución $r: V \rightarrow V$, es decir, es decir, un mapa que es la auto-inversa y satisface, por cualquier $z \in \mathbb{C}$ y $v \in V$, $r(zc) = \overline{z} r(c)$.
Pero, de hecho, tenemos una cosa: un elemento de $V$ es solo un complejo de valores de la función $f$, por eso, pusimos $r(f) = \overline{f}$. Tenga en cuenta que esto estabiliza $V$ ya que la ecuación diferencial $f^{(n)}) = 0$ "se define más de $\mathbb{R}$" la: o, más sencillamente, el conjugado complejo de la $n$th derivado de la $n$th derivados de la compleja conjugada. Así tenemos "origen de datos" (o, en Keith Conrad a la terminología, un G-estructura) y la solución real del espacio tiene la misma dimensión que el complejo espacio de la solución.

Es un buen ejercicio para el uso de estas ideas para la construcción de una explícita base real de $W$.

Answer 5

Cuando usted dice que no trivial parece que significa que el $m^{th}$ derivado de la $f$ no es igual a $f$ por cada $m < n$. Por desgracia, esto no es suficiente para definir $f_n$ únicamente; para cualquier entero positivo $1 \le k \le n$ tal que $\gcd(k, n) = 1$, cualquier combinación lineal no trivial de la $\phi(n)$ funciones $e^{ \frac{2\pi i k}{n} x}$ obras.

Una manera de hacer coherente elección a través de todos los valores de $n$ es tomar $k = 1$; en ese caso, es posible que desee elegir

$$f_n(x) = e^{ \frac{2\pi i}{n} x } = \cos \frac{2\pi x}{n} + i \sin \frac{2\pi x}{n}.$$

Esto es bien definida para cualquier número complejo a $n \neq 0$ y todos los números complejos $x$, y es probablemente cierto que la $n^{th}$ derivada fraccional de $f_n$ es igual a $f_n$. Hay una singularidad esencial en a $n = 0$ fijo distinto de cero $x$.