Área encerrada por la curva $\lfloor x + y\rfloor + \lfloor x - y\rfloor = 5$

Question

<blockquote> <p>Cuál es el área encerrado por la curva de $$\lfloor x + y\rfloor + \lfloor x - y\rfloor = 5$$ $% $ $x\ge y, \forall x, y \ge 0$</p> <p>$\lfloor x\rfloor$ es sinónimo de la función entero mayor.</p> </blockquote> <p>Creo que la curva a partir de $\left(\cfrac{5}{2},\cfrac{5}{2}\right)$ ya entonces una línea recta paralela al eje de $y$ hasta $\left(\cfrac{7}{2},\cfrac{5}{2}\right)$ (sin incluir este último punto). Pero entonces yo soy dificultades manipular aún más.</p>

Answer 1

La ecuación dada es: $$ \lfloor x+y \rfloor + \lfloor x-y \rfloor = 5 $$ Deje $t_1 = x+y \text{ and } t_2 = x-y$. Podemos comenzar por la observación de que la PREPA es la suma de dos enteros no negativos. Por lo que el par ordenado $(t_1, t_2)$, posiblemente, puede ser $(5,0),\;(4,1),\;(3,2)$ y así sucesivamente. Considere la posibilidad de $(t_1, t_2)=(5,0)$. Para este par, podemos escribir las desigualdades: $$ 5\le x+y < 6 \\ 0 \le x-y < 1$$ La intersección de estas desigualdades se le da a una parte del total de la gráfica. Del mismo modo podemos escribir todas las desigualdades para todos los pares, y dibujar la gráfica.

Ahora es fácil observar el patrón y el uso de las desigualdades para encontrar el grafo completo. Con la no-negatividad de las restricciones en $x$$y$, la gráfica de la solución es la de los tres diamantes (inclinado cuadrado) en las regiones cuyos centros de mentira en $x=3$.

Por lo tanto el área de la gráfica es $3/2 \text{ sq. units}$.

^{Crédito de la imagen: Desmo Calculadora Gráfica}

Answer 2

Azulejos azules: $$ \lfloor{x + y}\rfloor + \lfloor{x - y}\rfloor = 5 $$ Triángulo gris $$ y > 0, \quad x \le y $$ Hallar el área de las tejas de color azul dentro del triángulo gris.

Los puntos negros son los vértices de la primera plaza:

$$ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right), \quad % \left( \begin{array}{c} 3.5 \\ 0.5 \end{array} \right), \quad % \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right), \quad % \left( \begin{array}{c} 2.5 \\ 0.5 \end{array} \right) % $$ El lado de cada cuadrado es $s =\frac{1}{\sqrt{2}}$. Por lo tanto, cada cuadrado tiene área de $A=s^{2} = \frac{1}{2}.$ Hay tres plazas en la segunda región. Por lo tanto, el área total es de $$A_{total} = 3 A = \frac{3}{2}$$