Kepler ' primera ley de s en 3D

Question

Primera ley de Kepler en `` polar es

$$ r = \frac{p}{1 + \varepsilon\cos(\nu)}. $$

¿Cómo puede escribirse a considerar elipses en `` ?

Estoy tratando de trazar dos elipses en Python que se encuentran en diferentes planos para que pueda utilizar la forma polar para trazar una elipse, pero no sé cómo ajustar la ecuación para considerar un cambio de ángulo en el dirección.

Answer 1

En 3D, una elipse todavía se encuentra en algunas avión, este plano no puede ser $xy$-plano ya, si parametrizar la elipse utilizando las coordenadas polares en ese plano específico, entonces la ecuación se puede obtener todavía ser $r = \dfrac{p}{1 + \varepsilon\cos\theta}$.

Ahora $r$ es el estándar de la distancia Euclídea al centro $\mathbf{p}_0 = (x_0,y_0,z_0)$ de esta elipse, $\theta$ es el ángulo polar entre el vector de posición $\mathbf{p}-\mathbf{p}_0 = \langle x-x_0,y-y_0,z-z_0\rangle$ y el eje mayor de vectores $\mathbf{a}$ con una longitud de $a$. Vamos a la normal al plano del ser $\mathbf{n}=\langle n_1,n_2,n_3\rangle$, entonces el eje menor vector puede ser calculada como $\mathbf{b} = \dfrac{\mathbf{n}\times \mathbf{a}}{|\mathbf{n}\times \mathbf{a}|}b$. Y la ecuación debe ser: $$ |\mathbf{p}-\mathbf{p}_0| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}= \dfrac{p}{1 + \varepsilon\cos\theta}, $$ donde $$\theta = \operatorname{atan2}\big(\mathrm{Proj}_{\mathbf{a}}(\mathbf{p}-\mathbf{p}_0), \mathrm{Proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{p}-\mathbf{p}_0) \big),$$ que es el atan2 de las proyecciones del vector de posición $\mathbf{p}-\mathbf{p}_0$ sobre el eje principal vector de $\mathbf{a}$ y el eje menor de vectores $\mathbf{b}$ respectivamente. También el punto en esta elipse se debe satisfacer la restricción: $$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{p}_0) = n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0) =0, $$ lo que significa que la elipse está viviendo en este plano con normal $\mathbf{n}$.

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Aparte de esta extensión natural, puede ver una elipse en 3D como la curva de intersección entre un cilindro y un plano. La rotación del plano se puede representar por una matriz de rotación. Por ejemplo, si hacemos girar un objeto sobre el $z$eje $\alpha$ counter-clockwisely, el original $(x,y,z)$ en este objeto se convierte en: $$ \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\alpha - y \sin\alpha\\ x\sin\alpha + y\cos\alpha \\ z \end{pmatrix}.\la etiqueta{1} $$ Por ejemplo, el plano generado por los originales del eje mayor y del eje menor vectores $\mathbf{a} = \langle a,0,0\rangle$ $\mathbf{b}= \langle 0,b,0\rangle$ puede parametrizar mediante dos parámetros $u,v$: $$ \langle x-x_0,y-y_0,z-z_0\rangle = u \mathbf{a} + v \mathbf{b}, $$ es decir, $$ \begin{cases} x = x_0 + u a_1 + v b_1 \\ y = y_0 + u a_2 + v b_2 \\ z = z_0 + u a_3 + v b_3 \end{casos} $$ a continuación, podemos transformar este plano por la rotación alrededor de $x$-, $y$-, o $z$-eje, por la matriz en (1), conectar el nuevo $x',y',z'$ obtenido para cualquier cilindro de ecuación de $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$ obtendrá una elipse 3D así.

Answer 2

Si entiendo correctamente, usted está interesado en la ecuación paramétrica de una elipse en 3D. Esta ecuación puede ser escrita con los siguientes datos:

• su centro $(x_0,y_0,z_0)$
• un extremo de su eje mayor $(x_a,y_a,z_a)$
• un extremo de su eje menor $(x_b,y_b,z_b)$

Es decir, $$ \begin{split} x&=x_0+(x_a-x_0)\cos t+(x_b-x_0)\sin t \\ y&=y_0+(y_a-y_0)\cos t+(y_b-y_0)\sin t \\ z&=z_0+(z_a-z_0)\cos t+(z_b-z_0)\sin t \end{split} $$

La forma polar es menos adecuado para este propósito, debido a que las coordenadas polares en un plano que no es paralelo a cualquier 3D plano de coordenadas no tienen una buena relación con $x,y,z$ u otro estándar de los sistemas de coordenadas.