Cómo puedo encontrar λ, si tengo línea $3\lambda x-2=3y+1=\lambda z$ y % plano $\lambda x-3y+2z-3=0$y no se cruzan. La solución dada dice que λ = 3, pero no tengo ni idea cómo puedo llegar a esa solución. Pequeña sugerencia sería de gran ayuda...
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mvw
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Sugerencia:
La línea es la intersección de los dos planos $$ 3 \lambda x - 2 = 3 y + 1 \iff 3 \lambda x - 3 y = 3 \\ 3y + 1 = \lambda z \iff 3 y - \lambda z = -1 $$ A continuación, tomamos el avión $$ \lambda x - 3 y + 2z - 3 = 0 $$ en la consideración de común intersecciones.
Esto es equivalente al análisis de las soluciones del sistema lineal no homogénea $A u = b$ con la matriz ampliada $$ [A | b] = \left[ \begin{array}{rrr|r} 3 \lambda & -3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & -\lambda & - 1 \\ \lambda & -3 & 2 & 3 \end{array} \right] $$
Solución:
Esto puede ser transformado en $$ \left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 6 & -6 & -6 \\ 0 & 3 & -\lambda & - 1 \\ \lambda & -3 & 2 & 3 \end{array} \right] \a \left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -\lambda & -1 \\ \lambda & -3 & 2 & 3 \end{array} \right] \para \\ \left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 -\lambda & 2 \\ \lambda & -3 & 2 & 3 \end{array} \right] \a \left[ \begin{array}{rrr|r} \lambda & -3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 -\lambda & 2 \end{array} \right] $$ Vemos que la elección de $3 - \lambda = 0$ conduce a una inconsistencia en la última ecuación de ($0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 2$), y por lo tanto no es una solución del sistema.
$$3\lambda x-2=3y+1=\lambda z→\frac{x-2/3\lambda}{1}=\frac{y-1/3}{\lambda}=\frac{z}{3}$$
Así $(1,\lambda,3)$ es la dirección del vector. Por otro lado $(\lambda,-3,2)$ es el vector normal al plano.
Si no hay ninguna intersección significa que la línea es paralela al plano y luego los vectores son ortogonales.
$$(1,\lambda,3)\cdot (\lambda,-3,2)=\lambda-3\lambda+6=0→\lambda=3$$
David K
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Se puede intentar buscar el punto donde la línea cruza el plano, suponiendo que dicho punto hizoexistir. En otras palabras, ver qué pasaría si $\lambda$ fueron algunas de las valor que es no una solución del problema.
A partir de la especificación de la línea, se tienen las ecuaciones que permiten resolver para cualquier variable $x,y,z$ en términos de cualquiera de los otros. Elija una variable, para resolver los otros dos, y el enchufe de esas soluciones en la ecuación del plano. Ahora usted tiene una ecuación que es cierto para un punto en la línea y un punto en el plano, por lo que es verdad en el punto de intersección.
La ecuación que usted acaba de encontrar es una ecuación lineal en una variable, así que usted puede resolver para que una variable. Esto siempre funciona, excepto en un caso, y en ese caso se produce cuando en realidad no tienen una variable a la izquierda en la ecuación, es decir, conectar las soluciones de las otras dos variables consigue algo equivalente a $1 = 0.$ Que uno de los casos se produce para un determinado valor de $\lambda,$ y ese es el valor que desee.
