Factorizar una matriz de rotación en un producto de matrices de estiramiento y cizallamiento

Question

En un video que muestra cómo rotar una imagen en Microsoft Paint cualquier ángulo dado (generalmente sólo se puede rotar 90 grados en la Pintura), se muestra cómo hacer una rotación por $\alpha$ haciendo las siguientes operaciones:

1. Horziontal sesgo por $\alpha$
2. Vertical tramo por $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$
3. Desviación Vertical por $-\alpha$
4. Extensión Horizontal y vertical por $\cos(\alpha)$

Así que en términos de matrices, tenemos

$\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&\sin(\alpha)\\-\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&0\\ 0&\cos(\alpha) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ \tan(-\alpha)&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0& \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\tan(\alpha)\\0&1 \end{pmatrix}.$

Hay general de la factorización de los resultados de este tipo (por ejemplo, para los no-rotación de las matrices? En qué sentido es esta factorización única para una matriz de rotación?

Answer 1

Cualquier $2\times2$ matriz $\pmatrix{a&b\\c&d}$ $a\ne0$ puede tenerse en cuenta en el triple producto $$\pmatrix{1&0\\x&1}\pmatrix{r&0\\0&s}\pmatrix{1&y\\0&1}.$$ This is easily shown by multiplying it out and solving for the four parameters: $$\pmatrix{a&b\\c&d}=\pmatrix{r&ry\\rx&rxy+s}$$ $\por lo tanto,$ $r=a$, $x=c/a$, $y=b/a$ and $s=(ad-bc)/$. The decomposition in your question is an instance of this triple product with $\cos\alpha$ sacó de la central de la diagonal de la matriz en un factor.

Hay otros interesantes triple producto de descomposición así. Por ejemplo, en Gaussiano óptica de los sistemas ópticos que tienen el mismo medio en ambos extremos pueden ser descritos a través de $2\times2$ unimodular (determinante $1$) de las matrices. Si $c\ne0$ (es decir, el sistema es lo que se llama no-telescópica), entonces dicha matriz se puede descomponer en el producto de $$\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}$$ a partir de la cual se puede derivar el hecho de que cualquier sistema óptico, no importa cuán complejo puede ser descrito en términos de tres cantidades: la ubicación de los dos principales planos y la longitud focal efectiva.