Me parece que se trata de un problema de deberes dado por un instructor descuidado o perezoso, ya que no existen otros campos cuadráticos de este tipo.
Primera tarea: verificar que su extensión no es normal. Como has visto, el conjunto completo de raíces de tu ecuación irreducible es $\{\pm\sqrt{2+i},\pm\sqrt{2-i}\}$ . Llamaré a estos $\pm\xi$ y $\pm\eta$ . Para ver que $\eta$ no está en su campo $F= {\mathbb{Q}}(i,\xi)$ sólo hay que comprobar que la relación entre $\xi^2$ y $\eta^2$ como elementos de ${\mathbb{Q}}(i)$ no es un cuadrado. Esta proporción es $(2+i)^2/5$ no es un cuadrado, ya que $5$ no lo es.
El siguiente paso es fácil, describir cuidadosamente lo que es el cierre normal (sobre ${\mathbb{Q}}$ ) es, y es simplemente ${\mathbb{Q}}(i,\xi,\eta)$ que ya has observado contiene $\sqrt5$ .
Ahora el grupo de Galois. Llamemos $a$ el automorfismo que intercambia $\xi$ y $\eta$ y $b$ el que se va $\xi$ fijo, envía $\eta$ a $-\eta$ . Ambas son involuciones (cuadradas a la identidad), y $ab$ Con esto quiero decir que $b$ primero, y luego $a$ , envía $\xi\mapsto\eta\mapsto-\xi\mapsto-\eta\mapsto\xi$ Así que es del periodo cuatro. Tienes el grupo diedro de orden ocho. Este tiene cinco subgrupos de orden dos, siendo sólo uno de ellos normal, y tres subgrupos de orden cuatro, todos ellos normales, siendo de índice dos. No voy a entrar en los detalles de la enumeración de los elementos de cada subgrupo, sino que incluyo un diagrama de campo (tosco), en el que se ve que el único campo cuaternario que tiene dos subcampos cuadráticos es el normal, ${\mathbb{Q}}(i,\sqrt5)$ . Por supuesto, tiene que verificar todo esto usted mismo.
![enter image description here]()
