¿Cómo puedo leer el hecho de que la gravedad está asociada a partículas de espín 2 a partir de la acción de Einstein-Hilbert?

Question

A menudo he escuchado que el campo gravitacional tiene giro $2$ . ¿Cómo puedo leer el espín del campo a partir de la acción de Einstein-Hilbert

$$S=\int \! \mathrm{d}^4x \,\sqrt{|g|} \, \mathcal{R} \, \, \, ?$$

Answer 1

Un procedimiento común para determinar el espín de las excitaciones de un campo cuántico es determinar primero las corrientes conservadas que surgen de las cuasi-simetrías a través del teorema de Noether. Por ejemplo , en el caso del campo de Dirac, descrito por el Lagrangiano,

$$\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu -m)\psi $$

las corrientes conservadas asociadas bajo una traslación son,

$$T^{\mu \nu} = i \bar{\psi}\gamma^\mu \partial^\nu \psi - \eta^{\mu \nu} \mathcal{L}$$

y las corrientes correspondientes a las simetrías de Lorentz vienen dadas por,

$$(\mathcal{J}^\mu)^{\rho \sigma} = x^\rho T^{\mu \sigma} - x^\sigma T^{\mu \rho}-i\bar{\psi}\gamma^\mu S^{\rho \sigma} \psi$$

donde las matrices $S^{\mu \nu}$ forman la representación adecuada del álgebra de Lorentz. Tras la cuantización canónica, las corrientes $\mathcal{J}$ se convierten en operadores, y actuando sobre los estados se confirmará que, en este caso, las excitaciones llevan espín $1/2$ . En la gravedad, se procede de forma similar. La métrica se puede expandir como

$$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + f_{\mu \nu}$$

y ampliamos el campo $f_{\mu \nu}$ como una onda plana con coeficientes de Fourier valorados por el operador, es decir

$$f_{\mu \nu} \sim \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{\dots}} \left\{ \epsilon_{\mu \nu} a_p e^{ipx} + \dots\right\}$$

Sólo mantenemos los términos de orden lineal $\mathcal{O}(f_{\mu \nu})$ , calculan las corrientes conservadas de forma análoga a otras teorías cuánticas de campo, y una vez promovidas a operadores también actúan sobre los estados para determinar las excitaciones que efectivamente tienen espín $2$ .

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Contar los grados de libertad físicos

El gravitón tiene espín $2$ y como no tiene masa sólo dos grados de libertad. Podemos comprobarlo en la teoría de perturbaciones gravitacionales. Sabemos que $h^{ab}$ es una matriz simétrica, y sólo $d(d+1)/2$ componentes distintos. En el calibre de Donder, $$\nabla^{a}\bar{h}^{ab} = \nabla^a\left(h^{ab}-\frac{1}{2}h g^{ab}\right) = 0$$

que nos proporciona $d$ limitaciones de gálibo. También existe una libertad gauge residual, siempre que infinitesimalmente, nos desplacemos por un campo vectorial, es decir

$$X^\mu \to X^\mu + \xi^\mu$$

proporcionando $\square \xi^\mu + R^\mu_\nu \xi^\nu = 0$ que nos restringe por $d$ también. Por lo tanto, los grados de libertad físicos totales son,

$$\frac{d(d+1)}{2}-2d = \frac{d(d-3)}{2}$$

Si $d=4$ El gravitón sólo tiene dos grados de libertad.

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Advertencia importante

Aunque a menudo encontramos que un campo con un solo índice vectorial tiene espín uno, con dos índices espín dos, y así sucesivamente, no es siempre el caso, y la determinación del espín debe hacerse sistemáticamente. Consideremos, por ejemplo, las matrices de Dirac, que satisfacen el álgebra de Clifford,

$$\{ \Gamma^a, \Gamma^b\} = 2g^{ab}$$

En un $N$ -de Kahler $K$ si trabajamos en coordenadas locales $z^a$ con $a = 1,\dots,N$ y la métrica satisface $g^{ab} = g^{\bar{a} \bar{b}} = 0$ la expresión se simplifica:

$$\{ \Gamma^a, \Gamma^b\} = \{ \Gamma^{\bar{a}}, \Gamma^{\bar{b}}\} = 0$$ $$\{ \Gamma^a, \Gamma^{\bar{b}}\} = 2g^{ab}$$

Modulando las constantes, vemos que podemos pensar en $\Gamma^a$ como operador de aniquilación, y $\Gamma^{\bar{b}}$ como operador de creación para los fermiones. Dado que definimos $\lvert \Omega \rangle$ como el vacío de Fock, podemos definir un campo espinor general $\psi$ en el colector de Kahler $K$ como,

$$\psi(z^a,\bar{z}^{\bar{a}}) = \phi(z^a,\bar{z}^{\bar{a}}) \lvert \Omega \rangle + \phi_{\bar{b}}(z^a,\bar{z}^{\bar{a}}) \Gamma^{\bar{b}} \lvert \Omega \rangle + \dots$$

Dado que $\phi$ no tiene índices, esperaríamos que fuera un campo sin espín, pero puede interactuar con el $U(1)$ parte de la conexión de giro. Curiosamente, sólo podemos garantizar que $\phi$ es neutral si el colector $K$ es plana de Ricci, en cuyo caso es una variedad de Calabi-Yau.

Answer 2

Si se linealiza la teoría de forma que

$$ g^{\mu \nu}(x) = \eta^{\mu \nu} + h^{\mu \nu}(x) $$

digamos, encontrará que su quantum de gravitación es este tensor $h^{\mu \nu}(x)$ . Entonces está claro que tiene dos índices libres, y es lo que llamamos una "partícula de espín 2".

Las matemáticas para hacer la linealización y demostrar que se transforma como lo haría una partícula de espín 2 bajo las transformaciones de Lorentz son bastante largas y difíciles, me parece. Pero si quieres una respuesta más "completa" puedo intentarlo. Creo que tengo que repasarlo...