Calculando la cohomología extraordinaria de $\mathbb{C}P^n$

Question

Dejemos que $E$ sea un espectro anular con una orientación. Ahora quiero calcular $E^*(\mathbb{C}P^n)$ .

La definición de orientación que estoy utilizando es: Hay un elemento $x \in E^*(\mathbb{C}P^{\infty})$ de tal manera que es la restricción a $\mathbb{C}P^1$ es un generador sobre $\pi_*(E)$ .

Para calcularlo quiero utilizar la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch. Pero no consigo averiguar por qué desaparecen todas las diferenciales. Creo que hay que utilizar de alguna manera el hecho de que $E$ tiene una orientación pero no soy capaz de averiguar cómo. Gracias.

Answer 1

(Utilizaré la cohomología reducida para esta respuesta por comodidad). $\require{AMScd}$ Para cualquier espectro anular $E$ la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para (los grupos reducidos) $E^*(\Bbb{CP}^1)$ degenera en el $E^2$ por razones de grado; esto puede ser visto como proveniente del isomorfismo (definitorio en los espectros) $\pi_*(\Sigma^2 E) = \pi_{*-2}(E)$ . Que la unidad sea $1 \in E^2(\Bbb{CP}^1) = \pi_0(E)$ .

Ahora hay mapas de secuencias espectrales asociados a las inclusiones $\Bbb{CP}^1 \hookrightarrow \Bbb{CP}^n \hookrightarrow \Bbb{CP}^\infty$ . Supongamos ahora que el espectro del anillo está orientado al complejo. Sea $x \in E^2(\Bbb{CP}^\infty)$ restringir a $1 \in E^2(\Bbb{CP}^1).$ Tenemos un diagrama conmutativo

\begin{CD}\pi_*(E) @>>> AH_2^{*,2}(\Bbb{CP}^\infty) @>>> AH_2^{*,2}(\Bbb{CP}^1) \\ @VV=V @VVV @VVV \\ \pi_*(E) @>\sigma \mapsto x \sigma>> E^{2+*}(\Bbb{CP}^\infty) @>>> E^{2+*}(\Bbb{CP}^1) \end{CD}

donde el mapa superior identifica $\pi_*(E)$ con la fila inferior no nula de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch. Como el mapa compuesto dado en la fila inferior es un isomorfismo, toda esa fila de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para $\Bbb{CP}^\infty$ debe sobrevivir para $AH_\infty$ . Pero es fácil comprobar, utilizando la estructura multiplicativa de la secuencia espectral, que si algún diferencial es distinto de cero, la transgresión (cuya entrada se encuentra en $AH_n^{0,n+2}$ y la salida se encuentra en $AH_n^{n+1,2}$ ) es distinto de cero; pero si esto fuera cierto, eso contradiría el hecho de que la totalidad de la fila inferior sobrevive a la $AH^\infty$ . Por lo tanto, la secuencia espectral para $\Bbb{CP}^\infty$ degenera en la segunda página. Lo mismo ocurre con $\Bbb{CP}^n$ investigando el mapa de secuencias espectrales asociado a la inclusión $\Bbb{CP}^n \hookrightarrow \Bbb{CP}^\infty$ .

Así que la cohomología no reducida $E^*(\Bbb{CP}^\infty) = \pi_*(E)[x]$ , donde $|x| = 2$ (Supongo que esto se suele escribir en su lugar como serie de potencias). $E^*(\Bbb{CP}^n)$ es, en consecuencia, $\pi_*(E)[x]/(x^{n+1})$ .

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Puedes ver Breves notas de Lurie en las teorías de cohomología compleja orientada.

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La cohomotopía estable es un ejemplo explícito de una teoría de cohomología no orientada al complejo para la que la secuencia espectral no degenera. La conjetura de Segal para grupos de Lie compactos ( aquí ) implica que después de $p$ -Cumplimiento, $\pi_s^0(\Bbb{CP}^\infty_p) = \Bbb Z_p$ El $p$ -adics (ya que el anillo Burnside de $S^1$ es sólo $\Bbb Z$ ). Si la secuencia espectral degenera, entonces la cohomotopía estable 0 de $\Bbb{CP}^\infty_p$ tendría una filtración tal que los subcuartos son $\pi_s^{2k}(S)$ . Pero esto no es posible, porque $\pi_s^{2k}(S)$ puede tener sumandos como $(\Bbb Z/p)^2$ y los únicos grupos que pueden surgir como subcotientes de $\Bbb Z_p$ son $\Bbb Z_p$ o $\Bbb Z/p^k$ .

Answer 2

Su condición debe ser que la orientación sea un elemento del reducido $E$ cohomología de $CP^\infty$ restringiendo a un generador de $\pi_0(E)$ .

Mira el AHSS reducido. Los elementos con bidegree $(2,0)$ son ciclos de permanencia en el SS para $CP^1$ por razones de grado. La información sobre la orientación te dice que tienen que ser ciclos permanentes en la SS para $CP^\infty$ también y, en particular, en la SS para $CP^n$ .

Como tenemos una división $* \to CP^n \to *$ el AHSS reducido se encuentra dentro del SS no reducido, y en el SS no reducido, los elementos con $s=0$ son ciclos permanentes.

Ahora multiplica.