Evaluar la expresión $\sqrt{6-2\sqrt5} + \sqrt{6+2\sqrt5}$

Question

$$\sqrt{6-2\sqrt5} + \sqrt{6+2\sqrt5}$$

¿Puede alguien decirme la fórmula de esta expresión?

Intenté resolverlo sumando las dos expresiones y obtuve $\sqrt{12}$ pero como inserto cada expresión por separado en la calculadora la respuesta está por encima de $\sqrt{12}$ .

Answer 1

Establecer $$t=\sqrt{6-2\sqrt5} + \sqrt{6+2\sqrt5}$$ $$t^2=6-2\sqrt5+2\sqrt{(6-2\sqrt5)(6+2\sqrt5)}+6+2\sqrt5$$ $$t^2=12+2\sqrt{36-20}=12+2(4)=20$$ $$t^2=20\implies t=2\sqrt5$$

Answer 2

Sugerencia . Observe que $$ (\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5},\quad (\sqrt{5}+1)^2=6+2\sqrt{5}. $$

Answer 3

Pista: $(\sqrt{5}\pm 1)^2 = 6 \pm 2 \sqrt{5}$ .

Answer 4

En términos más generales, si $t =\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}} $ ,

$\begin{array}\\ t^2 &=(\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}})^2\\ &=a+\sqrt{b}+2(\sqrt{a+\sqrt{b}}\sqrt{a-\sqrt{b}})+a-\sqrt{b}\\ &=2a+2\sqrt{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}\\ &=2a+2\sqrt{a^2-b}\\ \text{so}\\ t &=\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-b}}\\ \end{array} $

En este caso, $a=6$ y $b=20$ así que $t =\sqrt{2\cdot 6+2\sqrt{36-20}} =\sqrt{12+8} =\sqrt{20} =2\sqrt{5} $ .

Answer 5

Sugerencia $\,\ \sqrt a + \sqrt b\, = \sqrt{(\sqrt a + \sqrt b)^2} = \sqrt{a+b +2{\sqrt{ab}}}.\ $ Aquí $\ a+b=12,\ \color{}{\sqrt{ab}} = 4.$