Cuántos pares ordenados $(a, b)$ de los enteros positivos $a$ $b$ están allí, que $\gcd(a, b)= 1$$1\leq a,b\leq N$?
Mi planteamiento es el siguiente.
Tenga en cuenta que $a= b$ sólo al $a= b= 1$. Así que esto siempre va a dar una solución. Ahora considere el caso en que $a$ no es igual a $b$. Por simetría asumen $a>b$. Podemos multiplicar por $2$ después ir a buscar nuestra respuesta final. Ahora para $N$ deje que la respuesta se $f(N)$. Ahora tenemos que encontrar el número de pares ordenados $(a, b)$ de los enteros positivos $a$ $b$ son sus dichos que $\gcd(a, b)= 1$$1\leq a<b\leq N+1$. Tenga en cuenta que $f(N+1)= f(N) + \phi(N+1)$. Esto es debido a que $1\leq a<b\leq N$ $f(N)$ soluciones, por lo $1\leq a<b\leq N+1$ también las $N$ soluciones, pero, además, al calcular el $f(N+1)$ podemos establecer $b= N+1$ y consigue $\phi(N)$ posibles valores de $N$. Por lo $f(N+1)= f(N) + \phi(N)$. Por lo tanto la solución de esta relación de recurrencia llegamos $$f(N)= \phi(N) + \phi(N-1) + \dots + \phi(4) + f(3)= \phi(N) + \phi(N-1) + \dots + \phi(4) + 2.$$
Mi pregunta es, es mi enfoque correcto aquí? Podemos simplificar aún más la $$\phi(N) + \phi(N-1) + \dots + \phi(4) + f(3)= \phi(N) + \phi(N-1) + \dots + \phi(4) + 2\text{ ?}$$
Nota:- la pregunta original era encontrar el número de pares ordenados $(a, b)$ de los enteros positivos $a,b$ tal que $1\leq a,b\leq 50$$\gcd(a, b)= 1$.
