Estoy trabajando en este problema:
Supongamos $f$ es analítica en el disco $|z| < 2$, excepto en $z = 1$ donde $f$ tiene un simple polo. Si $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$$ es la expansión en series de Taylor para$f$$z = 0$, demuestran que, a $\lim\limits_{n\to \infty} a_n$ existe y es igual al residuo de $f$$z = 1$.
Aquí es lo que he intentado:
Deje $P(z) = \displaystyle \frac{A}{z-1}$ ser la parte principal de $f$ cerca de $z = 1$. Entonces $$g(z) := f(z) - P(z) = f(z) + \displaystyle \frac{A}{1-z}$$ is analytic in $|z| < 2$ when $z \ne 1$ since both $f$ and $P$ are. It's also analytic at $|z| = 1$ desde el Laurent de serie, y ahora no tiene la parte principal.
Por lo $f - P$ es, en particular, de la analítica en$z = 0$, por lo que tiene un desarrollo en serie de Taylor no $$g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(a_n + A)z^n$$ Desde $g$ es analítica en $|z| < 2$ la serie de Taylor para $g$ converge en $|z| = 1$. Por lo tanto,$\lim\limits_{n\to \infty} (a_n + A) = 0$$\lim\limits_{n\to \infty} a_n = -A$.
Así que mi respuesta parece tener un signo diferente de la cuestión sugiere que deben tener, pero no veo el error en mi respuesta.
Gracias por la ayuda.
