Atiyah ' s K teoría, pg 4

Question

En la página 4, de Atiyah $K$ theroy dijo

Supongamos $V,W$ son reales f.d. v. s, $E = X \times V$ $F= X \times W$ correspondiente vector de paquetes. Entonces cualquier homomoprhism $\varphi:E \rightarrow F$ determina un mapa $$ \Phi: X \rightarrow Hom(V,W), \text{ satisfying } \varphi(x,v) = (x, \Phi(x)v). $$ donde $\Phi$ es continua cuando $Hom(V,W)$ es considerado como el habitual de la topología. Por el contrario, cualquier mapa continuo $\Phi:X \rightarrow Hom(V,W)$ determina un homomorphism $\varphi:E \rightarrow F$.

Agradecería si alguien puede dar una explicación detallada.

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EDIT: Aquí está mi intento de explicar 3. de Bananeen explicación.

$(\Leftarrow)$ Un conjunto abierto en $Hom(V,W)$, conteniendo $\Phi(x)=(a_{i,j}(x))$, es el conjunto de matrices $A$, $|A-a_{i,j}(x)|<\varepsilon$. La continuidad en cada una de las $e_j$, muestra que existe de abrir conjuntos de $U_1, \ldots, U_n$ contiene $x$ y $$|(a_{i,j}(x))_{i=1}^n - (a_{i,j}(y))^{i=1}_n| < \varepsilon/2n \text{ for } y \in U_j.$$

Así, tomando los $\bigcap U_i=U$, hemos encontrado un nhood de $x$, de tal manera que para todos los $y \in U$, $|\Phi(y)-\Phi(x)|<\varepsilon$.

$(\Rightarrow)$ A la inversa de la siguiente manera ya que en base a $e_j$ vectores, $|\Phi(x)e_j - \Phi(y)e_j| \le |\Phi(x)-\Phi(y)|$. Para cualquier vector de $v$, por el triángulo de la desigualdad, resultado de la siguiente manera.

Answer 1

1. Desde $V,W$ son finitos tridimensional de espacios vectoriales, $Hom(V,W)$ es en sí mismo un número finito de dimensiones de espacio vectorial. Así, después de la elección de cualquiera de las bases para $V$ y $W$, $Hom(V,W)$ se identifica con $\mathbb{R}^{nm}$, y el estándar de la métrica Euclidiana define la "topología usual" (dos matrices son "cercanos", si sus componentes son de "cerrar") . Entonces es un ejercicio para demostrar que las topologías derivadas de las normas sobre finito dimensionales espacios vectoriales son todos equivalentes.
2. $\Phi(x)$ se define como sigue: vector $v \in V$ se asigna a $W$ a través de la siguiente composición: $$V \to X \times V \xrightarrow{\phi} X \times W \xrightarrow{pr_2} W$$ $$v \mapsto (x,v) \mapsto \phi(x,v)=(x, \Phi(x)v) \mapsto \Phi(x)v$$which is linear because of fiberwise linearity of $\phi$.
3. Para mostrar que $\Phi(x)$ es continua, utilice el hecho de que el mapa de $\Phi: X \to Hom(V,W)$ es continua iff $ev_{v}: X \to W$ definido por $x \mapsto \Phi(x) v$ es continua para cualquier $v\in V$. Para ver esto, de nuevo, elija bases para $V=span(e_1,...,e_n)$, $W=span(u_1,...,u_m)$, a continuación, $\Phi(x)$ es una matriz de una función con valores de $x \mapsto A(x)=( \ a_{i,j}(x) \ )$, e $x \mapsto A(x)e_i$ simplemente selecciona el $i$-ésima columna de esta matriz.

Así que para mostrar la continuidad de la $\Phi(x)$ a partir de 2 podemos observar que $$x \mapsto \phi(x,v) \mapsto pr_2 (\phi(x,v) ) = \Phi(x)v$$ is continuous for any $v \V$.