Referencias $\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}e^{i k(x-a)}$

Question

En una página web, Representaciones integrales y en serie de la delta de Dirac encontré esta expansión en serie de la función delta de Dirac $$\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}e^{i k(x-a)}$$ Para esta fórmula, el sitio web hace referencia a "literatura sobre física" no especificada. Me gustaría encontrar una referencia bibliográfica al respecto.

Gracias de antemano.

Answer 1

MÉTODO 1:

La serie compleja de Fourier en el intervalo $[-\pi,\pi]$ para una función $f$ se escribe

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx} \tag 1$$

donde los coeficientes $c_n$ vienen dadas por

$$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx \tag 2$$

Sustituyendo $2$ en $(1)$ revela que

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x')e^{-inx'}\,dx'\right)\,e^{inx}$$

con lo que el intercambio formal de la serie y la integral da como resultado

$$f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x')\left(\frac{1}{2\pi}\,\sum_{n=-\infty}^{\infty}\,e^{in(x-x')}\right)\,dx' \tag 3$$

En la medida en que $(3)$ es cierto para todas las "funciones de prueba" $f$ deducimos que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\delta(x-x')=\frac{1}{2\pi}\,\sum_{n=-\infty}^{\infty}\,e^{in(x-x')}}$$

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MÉTODO 2:

Supongamos que $f$ es una "función de prueba" suficientemente suave en $[-\pi,\pi]$ . Examinamos la función $\int_{-\pi}^\pi f(x)\left(\frac{1}{2\pi}\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{in(x-a)}\right)\,dx$ en el sentido de las distribuciones. Tenemos

$$\begin{align} \int_{-\pi}^\pi f(x)\left(\frac{1}{2\pi}\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{in(x-a)}\right)\,dx&=\frac{1}{2\pi}\lim_{N\to \infty}\int_{-\pi}^\pi f(x)\left(\frac{1}{2\pi}\sum_{n=n}^{N}e^{in(x-a)}\right)\,dx\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{N\to \infty}\int_{-\pi}^\pi f(x)\left(\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^{N}e^{in(x-a)}\right)\,dx\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{N\to \infty}\int_{-\pi}^\pi f(x)\left(\frac{\sin\left((N+1/2)(x-a)\right)}{\sin((x-a)/2)}\right)\,dx\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{N\to \infty}\int_{-\pi}^\pi \sin\left((N+1/2)(x-a)\right)\left(\frac{f(x)-f(a)}{\sin((x-a)/2)}\right)\,dx\\\\ &+\frac{f(a)}{2\pi}\lim_{N\to \infty}\int_{-\pi}^\pi \left(\frac{\sin\left((N+1/2)(x-a)\right)}{\sin((x-a)/2)}\right)\,dx \tag 1\\\\ \end{align}$$

Ahora bien, si suponemos que $\frac{f(x)-f(a)}{\sin((x-a)/2)}$ es absolutamente integrable en $[-\pi,\pi]$ entonces por el Lemma de Riemann-Lebesgue el límite, ya que $N\to \infty$ de la primera integral del lado derecho de $(1)$ llega a cero.

La segunda integral es igual a $2\pi$ para todo número entero $N$ . Por lo tanto, para cada función de prueba adecuada $f$ tenemos

$$\int_{-\pi}^\pi f(x)\left(\frac{1}{2\pi}\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{in(x-a)}\right)\,dx=f(a)$$

De nuevo, deducimos que para $x\in [-\pi,\pi]$ ,

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{in(x-a)}}$$

¡como era de esperar!