prueba sobre operadores conmutativos y vectores T-cíclico

Question

Que $V$ sea un espacio dimensional finito del vector $F$. Que $T:V \to V$ sea un operador lineal. Demostrar que si cada operador lineal $U$ que conmuta con $T$ es un polinomio de $T$, que $T$ tiene un $T$-vector cíclico.

¿Realmente no sé dónde empezar... puede alguien por favor señalarme en la dirección correcta?

Answer 1

Con algunos teoría general esto se puede hacer sin dolor. Por la estructura del teorema de finitely módulos generados durante un director ideal de dominio (con $F[X]$ como PID, y $V$ considera como $F[X]$-módulo de con $X$ actuando como $T$), $V$ se descompone como un finito suma directa de cíclico de los módulos; la descomposición no es única, pero el número y los tipos de los módulos son únicos (y por lo $V$ tiene un vector cíclico si y sólo si existe (en la mayoría) de uno cíclico módulo de tal descomposición). Los factores cíclicos son isomorfos a $F[X]$ como módulo sobre sí mismo (pero esto no puede suceder por $V$ porque es finito dimensionales más de $F$), o de la forma $F[X]/P$ para un no-constante monic polinomio $P\in F[X]$; por otro lado, estos polinomios $P_i$ en los sucesivos cíclico de módulos (llamados los factores invariantes de la $F[X]$ módulo de $V$) divide cada uno de los otros: $P_i\mid P_{i+1}$ cuando ambos polinomios existe.

Ahora la pregunta es para demostrar que si todos lineal de operadores que conmutan con a $T$ son polinomios en $T$ (en otras palabras de las que se acaba de multiplicaciones escalares en el $F[X]$-módulo, donde "escalar" significa elemento de $F[X]$), entonces no puede haber dos o más cíclico de los módulos en la descomposición (lo contrario también es cierto, ver a esta pregunta). Para asumir una descomposición dada por el teorema tiene al menos dos factores $F[X]/P_1$, $F[X]/P_2$, con $1\neq P_1\mid P_2$. Dado que los factores que en la descomposición se submódulos, cada multiplicación escalar estabiliza ellos; por lo que será suficiente para encontrar una $F[X]$-módulo de morfismos $V\to V$ que no estabilizar todos los factores (el módulo de morfismos de la propiedad dice que el es $F$-lineal y desplazamientos con $T$). Pero tenemos un no-cero de morfismos $\pi:F[X]/P_2\to F[X]/P_1$ de reducción de modulo $P_1$, la cual es definida por $P_2$ es un múltiplo de a $P_1$. Para hacer esto en un $F[X]$-módulo endomorfismo $V$, basta primer proyecto $V\to F[X]/P_2$ paralelo a todas las demás factores cíclicos, a continuación, aplique$~\pi$, y finalmente inyectar el factor de $F[X]/P_1$ a $V$. El resultado endomorfismo es fácilmente visto no estabilizar el factor cíclico $F[X]/P_2$, como se desee. QED

Answer 2

A mi entender esto es el llamado Teorema del vector cíclico. Hay muchas versiones de la prueba de acceso. Una muy completa viene aquí:

http://PlanetMath.org/proofofcyclicvectortheorem

Apenas tendría sentido copiar a todos aquí.

Espero que esto ayude.

Answer 3

<ul> <li><p>$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}$ has a cyclic vector and commutes with $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ que son polinomios en el operador.</p></li> <li><p>$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ hace <em>no</em> tiene un vector cíclico. Conmuta con las mismas proyecciones, pero no son polinomios en este segundo.</p></li> </ul>