Transformada de Fourier: ¿podemos esperar$\|\mathcal F( | \mathcal F f |)\|_{L^\infty} \lesssim \|f\|_{L^\infty}$?

Question

Si $\mathcal Ff$ denota la transformada de Fourier de las funciones de $f:\mathbb R^d\to \mathbb R$, es la siguiente desigualdad verdadera, para decir Schwartz funciones de $f$?

$$ \|\mathcal F( | \mathcal F f |)\|_{L^\infty} \le C \|f\|_{L^\infty}$$

Hay funciones para las que $\mathcal Ff>0$(por ejemplo, una Gaussiana) para los que esto es cierto con una igualdad.

Estoy tratando de probar algunos de conmutacion estimaciones, pero estoy recibiendo este óptimo resultado con $ \|\mathcal F( | \mathcal F f |)\|_{L^\infty} $ en lugar de $ \|f\|_{L^\infty}$.

El simple atado $\|\mathcal F g \|_{L^\infty} ≤ \|g\|_{L^1}$ no es suficiente, porque después de la aplicación para deshacerse de la norma, que, obviamente, desea, a continuación, 'ir de la otra manera" volver a poner a $L^\infty$ en el lado derecho.

Answer 1

No podemos esperar esto, tenga en cuenta que según el $f$ Schwartz podemos decir %#% $ #%

Por lo tanto la desigualdad deseada implica $$||\mathcal{F}(|\mathcal{F}(f)|)||_\infty \geq \mathcal{F}(|\mathcal{F}(f)|)(0)=||\mathcal{F}(f)||_1$.

Esto es ciertamente falso en general, por ejemplo, el indicador de $||\mathcal{F}(f)||1 \lesssim ||f||\infty$ tiene fourier transforma no en $[-1,1]$, esto también implica que es falso para las funciones de Schwartz como podemos aproximar este indicador por funciones de soporte compacto liso.