Es cierto que $\mathbb{co} A = B$, pero la prueba es un poco tedioso.
Desde $A \subset B$, está claro que $\mathbb{co} A \subset B$. La otra dirección, se requiere un poco más de trabajo:
Tanto en $A$ $B$ están cerrados acotado establece, por lo tanto compacto. $B$ es convexa. El convex hull $\mathbb{co} A$ es cerrado y compacto (sigue de la compacidad y el teorema de Carathéodory).
Deje $E$ el conjunto de puntos extremos de $B$. La idea básica es mostrar que $E \subset A$. Desde el Krein-Milman teorema nos dice que $B = \overline{\mathbb{co}} E$, a continuación, siga ese $B \subset \mathbb{co} A$.
Para caracterizar los puntos extremos, necesito un poco de notación y un lema.
Deje $C = \{ x \in \mathbb{R}^n | \; g_i (x) \leq 0, \; \forall i \in I \}$, donde cada una de las $g_i$ tiene la forma $g_i(x) = \langle \gamma_i, x \rangle - \beta_i$. (Tenga en cuenta que $B$ tiene esta forma). Definir el 'índice activo set' $I_{x_0} = \{ i \in I | g_i(x_0) = 0 \}$.
Lema: $x_0$ es un punto extremo de $C$ fib $x_0 \in C$$\mathbb{sp} \{ \gamma_i \}_{i \in I_{x_0}} = \mathbb{R}^n$.
Prueba: ($\implies$): Supongamos $x_0$ es un punto extremo de $C$, pero $\mathbb{sp} \{ \gamma_i \}_{i \in I_{x_0}} \neq \mathbb{R}^n$. A continuación, elija un valor distinto de cero $h \in \mathbb{sp} \{ \gamma_i \}_{i \in I_{x_0}}^{\bot}$. Además tenga en cuenta que si $ i \notin I_{x_0}$, entonces existe una vecindad $U$ $x_0$ tal que $i \notin I_x$, forall $x \in U$. Ahora considere los puntos de $x_0 + \lambda h$, y observar que para $\lambda$ lo suficientemente pequeño, $x_0 \pm\lambda h \in C$ (ya que todas las restricciones son satisfechas). Podemos escribir $x_0 = \frac{1}{2} ( (x_0+\lambda h) + (x_0-\lambda h))$, lo que contradice el hecho de que $x_0$ es extrema.
($\impliedby$): Ahora supongamos $x_0 \in C$$\mathbb{sp} \{ \gamma_i \}_{i \in I_{x_0}} = \mathbb{R}^n$. Supongamos $x_0 = \lambda x + (1-\lambda) y$,$x,y \in C$, e $\lambda \in (0,1)$. Deje $i \in I_{x_0}$,$g_i(x_0) = \lambda g_i(x) + (1-\lambda) g_i(y) = 0$. De ello se desprende que $g_i(x) = g_i(y) = 0$, de la cual tenemos $\langle \gamma_i, x_0 \rangle = \langle \gamma_i, x \rangle = \langle \gamma_i, y \rangle$, para todos los $i \in I_{x_0}$. Sin embargo, esto implica que $x_0-x$ $x_0-y$ mentira en el complemento de $\mathbb{sp} \{ \gamma_i \}_{i \in I_{x_0}}$, $\{ 0 \}$ por supuesto. Por lo tanto $x = y = x_0$. De ello se desprende que $x_0$ es extrema.
Ahora, de vuelta al set $B$. Deje $x$ ser un punto extremo de $B$. $B$ se define por $2n+1$ limitaciones, sin embargo, de las $2n$ restricciones de $x_i \in [0,1]$, en la mayoría de las $n$ puede estar activo. Por lo tanto, en la mayoría de los $n+1$ restricciones pueden ser activos (y cualquier $n$ de estos son linealmente independientes).
Hay dos posibilidades: (1) $x_1+...+x_n = k$. En este caso, $n-1$ de las otras restricciones deben ser activo (es decir, $x_i$ es $0$ o $1$ $n-1$ índices de $i$). Desde $k$ es un número entero, entonces se sigue que el resto de los $x_i$ debe también ser $0$ o $1$. Por lo tanto $x = \sum_{j \in J} e_j$, donde $|J| = k$. (2) $x_1+...+x_n < k$. En este caso todos los $x_i$ debe ser $0$ o $1$ (en la mayoría de las $k-1$$1$, por supuesto). Esto le da a $x = \sum_{j \in J} e_j$ donde $|J| < k$.
Esto caracteriza a los puntos extremos de $B$ como tener la forma $x = \sum_{j \in J} e_j$ donde $|J| \leq k$, y una sencilla observación tenga en cuenta que todos esos $x$ satisfacer $x \in A$. Por lo tanto, tenemos el resultado deseado.
