Mostrar que está conectado cada componente conectado de un espacio topológico $X$.

Question

Mostrar que cada componente de un espacio topológico $X$ está conectado.

Aquí está mi prueba

Mi Prueba: Seleccione un componente conectado a $$C = [x] = \{y \in X \mid \exists \text{ a connected set containing both $x$ and $s$}\}$$

Ahora, para cada una de las $y \in C$ deje $C_y$ ser conectado con $x$$y$. Pretendemos que $C = \bigcup_{y \in [x]}C_y$. Para probar esta afirmación pick $\alpha \in \bigcup_{y \in [x]}C_y$, $\alpha \in C_y$ algunos $y \in C$. Desde $C_y$ es un conjunto conectado en $X$ contiene tanto $\alpha$$x$, se deduce que el $\alpha \in C$ por lo tanto $\bigcup_{y \in [x]}C_y \subseteq C$.

Por el contrario pick $\beta \in C$, luego por la construcción de la $\beta \in C_{\beta}$ que es el conjunto conectado contiene tanto $x$$\beta$. Por lo tanto $\beta \in \bigcup_{y \in [x]}C_y$ y tenemos $C = \bigcup_{y \in [x]}C_y$.

Ahora desde $\bigcup_{y \in [x]}C_y$ todos contienen $x$, su intersección es vacía y desde cada una de las $C_y$ está conectado de ello se sigue que $\bigcup_{y \in [x]}C_y$ está conectado. Por lo tanto $C$ está conectado. $\square$

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Primero es mi prueba correcta? Puedo mejorar en alguna forma? No estoy demasiado contento con mi construcción de $\bigcup_{y \in [x]}C_y$, porque me dijo que

"para cada una de las $y \in C$ deje $C_y$ ser conectado con $x$$y$"

pero no hay necesidad de $C_y$ a un ser único y que hizo que importa un poco peludo cuando traté de demostrar que el $C \subseteq \bigcup_{y \in [x]}C_y$

Hay una mejor manera de demostrar esto?

Answer 1

Algunos comentarios.

Escoge un componente conectado a $C$, un elemento $x \in C$ y, a continuación, proporcionar una definición (por extensión) de $C$ lo cual está bien.

Pero, a continuación, utilizar el teorema de decir que una unión de conjuntos conectados todos los que contienen el mismo punto está conectado. Esto no es necesario.

Mejor volver a la definición de un conjunto conectado. Supongamos que $C$ es la unión de dos (relativo) de los distintos subconjuntos abiertos $C_1,C_2$$x \in C_1$. A continuación, para $x \neq y \in C$, existe un conjunto conectado a $C_y$ contiene $y$ e incluidos en $C$. Necesariamente $y \in C_1$ si no $C_y$ sería distinto de la unión de la no vacío (relativa a $C_y$) abrir subconjuntos $C_1 \cap C_y, C_2 \cap C_y$. Por lo tanto,$C_2 = \emptyset$, lo que demuestra que el $C$ está conectado.

Answer 2

Deje $C$ ser un componente conectado y deje $x\in C$.

Para cada $y\in C$, elija un conjunto conectado a $A_y$ que contiene tanto $x$$y$. Entonces, por definición, $A_y\subseteq C$ y por lo tanto $$ C=\bigcup_{y\in C}A_y $$

Teorema. Si $(B_i)_{i\in I}$ es una familia de conectado subconjuntos del espacio topológico $X$ tal que $\bigcap_{i\in I} B_i\ne\emptyset$, $\bigcup_{i\in I}B_i$ está conectado.

Prueba. Deje $f\colon\bigcup_{i\in I}B_i\to\{0,1\}$ (discrete codominio) de ser continuo. Deje $p\in\bigcap_{i\in I}B_i$ y deje $q\in\bigcup_{i\in I}B_i$, decir $q\in B_{i_0}$. A continuación,$f(p)=f(q)$, debido a $f$ restringido a $B_{i_0}$ es continuo, por lo tanto constante. Por lo tanto, $f$ es constante. QED

Ahora tenga en cuenta que $x\in\bigcap_{y\in C}A_y$.

Answer 3

Creo que no importa demasiado que los conjuntos de $C_y$ puede no ser única. La prueba descansa en la idea de que una unión de conjuntos conectados con el común de intersección está conectado, que parece plausible (no he probado a probarlo, aunque). Si eso no es establecido una proposición en su texto, sin embargo, yo creo que debe ser probado.

Pero la construcción parece un poco complicado. Usted podría apelar a la definición de conectado. Si $C = [x]$ fueron no conectado, usted podría encontrar distintos conjuntos de $X$ $Y$ tal que $C \cap X \neq \varnothing$, $C \cap Y \neq \varnothing$, y $C \subseteq X \cup Y$. Elegir un $x\in X \cap C$$y \in Y \cap C$, y un conjunto conectado a $D$ contiene $x$$y$. Se puede discutir a una contradicción a partir de aquí?

Answer 4

Esta es sólo una ampliación de mathcounterexamples.net's respuesta anterior.

Prueba: Seleccione un componente conectado a $C=[x]$. Supongamos que $C$ se desconecta, a continuación, $C = C_1 \cup C_2$ donde $C_1$ $C_2$ están abiertas en $C$ y desunido y ambos son no vacíos. Sin pérdida de generalidad supongamos $x \in C_1$

Pretendemos que $C_2 = \emptyset$. Para probar esta afirmación suponga que $C_2$ no estaba vacía, a continuación, elija $y \in C_2$, entonces, por definición de un componente conectado (desde $y, x \in C$ implica $y \sim x$), existe un conjunto conectado a $C_y$ contiene tanto $y$$x$.

Tenga en cuenta que $C_y \subseteq C$, a ver por qué esto es cierto, pick $\alpha \in C_y$, entonces, por definición de la relación $\sim$, se deduce que el $\alpha \sim y$ (desde $C_y$ es un conjunto conectado en $X$ contiene tanto $\alpha$$y$) y desde $y \sim x$ y el hecho de que las relaciones de equivalencia son transitivos se sigue que $\alpha \sim x$, lo que implica que el %de$\alpha \in [x] = C$. Por lo tanto $C_y \subseteq C$.

Ahora desde $C_y$ contiene $x \in C_1$ $y \in C_2$ $C_y$ está conectado y que figuran en el $C$, se deduce que el $C_1 \cap C_y$ $C_2 \cap C_y$ está abierto en $C_y$ y, además, $C_1 \cap C_y \neq \emptyset$ (ya que ambos conjuntos contienen $x$) y $C_2 \cap C_y \neq \emptyset$ (ya que ambos conjuntos contienen $y$) y, además, $(C_1 \cap C_y) \cup (C_2 \cap C_y) = C_y$ (desde $C_1 \cup C_2 = C$$C_y \subseteq C$), con lo $C_y$ se desconecta una contradicción. Por lo tanto $C$ debe estar conectado. $\square$