Normalmente en la geometría diferencial, se asume que la única manera de producir una cantidad tensorial por la diferenciación es (1) iniciar con un tensor, y luego (2) aplicar una derivada covariante (no un simple y llano en derivadas parciales). Aplicando esto a GR, creo que una manera de afirmar el principio de equivalencia es que la única tensorial objeto que esperamos ser "incorporado" a la que el vacío es la métrica. Puesto que la derivada covariante se define básicamente como un derivado que produce cero cuando se aplica a la métrica, esto significa que usted no puede conseguir nada de interés (es decir, local y tensorial) por appying el proceso descrito en el #1 y #2 para el vacío. Esto puede ser usado como una forma elegante de argumentar que el campo gravitacional Newtoniano $\mathbf{g}$ no es un tensor, ya que en el límite Newtoniano, es esencialmente el gradiente de la métrica.
Sin embargo, el proceso descrito por el #1 y #2 es suficiente pero no necesaria. De hecho, una manera de definir la curvatura está tomando no covariante derivados de la métrica para formar los símbolos de Christoffel y, a continuación, haciendo aún más las operaciones que implican la no-covariante de los instrumentos derivados para obtener la curvatura de Riemann tensor-que, sorprendentemente, termina siendo válido tensor.
Parece, entonces, que el tensor de Riemann es un caso especial. Originalmente se pensó que podría ser una unicidad teorema que demuestra que si queremos producir un local, cantidad tensorial de la métrica, las únicas posibilidades son el tensor de Riemann o de la curvatura de la polinomios formado a partir del tensor de Riemann y sus covariante derivados.
[EDITA] UN comentario por joshphysics y la respuesta por BebopButUnsteady me ayudó a perfeccionar esta conjecure de la siguiente manera.
Joshphysics señaló que cosas como $g_{ab}g_{cd}$ podría ser considerado trivial contraejemplos. Puedo pensar en dos posibles maneras de lidiar con esta:
(1) BebopButUnsteady la respuesta muestra que este es, en cierto sentido no es un contraejemplo, ya que la métrica en sí mismo puede ser expresada como una serie de Taylor en términos del tensor de Riemann y sus derivados. Si la métrica es analítica, y si estamos dispuestos a aceptar la infinita serie, entonces esto significa que no hay ninguna información en la métrica que no es recuperable del tensor de Riemann.
(2) Lo que no parece existir, además de la curvatura de polinomios formado a partir del tensor de Riemann y sus covariante derivados, en (a) cualquier variable escalar campo, o (b) cualquier vector de campo. (Parte b es básicamente el principio de equivalencia.)
