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¿Demasiados anuncios?La suprayectividad es bastante trivial. Para la inyectabilidad asumir que $f(m) = f(n)$, entonces existe (de suprayectividad) $f(m_1) = m$, $f(n_1) = n$ y $f(k) = 0$. Así que tenemos:
$$m_1 + k = f(f(m_1) + f(k)) = f(m) = f(n) = f(f(n_1) + f(k)) = n_1 + k \implies m_1 = n_1 \implies m=n$$
Por lo tanto la función es biyectiva. Ahora Supongamos que $f(k) = 0$. A continuación:
$$f(f(k) + f(k)) = 2k = f(f(2k) + f(0))$$
Desde el bijectivity: $f(2k) + f(0) = f(k) + f(k) = 0$. Pero como $f(x) \ge 0 $ obtenemos que $f(0) = 0$. Finalmente:
$$f(f(m) + f(n)) = m+n =f(f(m+n) + f(0)) \implies f(m+n) = f(m) + f(n)$$
La última ecuación se puede solucionar fácilmente mediante inducción y más tarde usted puede encontrar un valor adecuado para $f(1)$.
Como Max apunta en su comentario, suprayectividad es sencillo de probar, así que voy a dejar que uno para usted. En cuanto a la inyectabilidad, si tenemos $f(m) = f(n)$, $f(f(m) + f(n)) = f(f(n) + f(n))$ y así $m + n = 2n$, que dice $m = n$. Por lo tanto $f$ es una biyección.
Tomando el $f(m_0) = 0$, obtenemos $f(f(n)) = m_0 + n$ y $f(0) = 2m_0$, por lo que $f(f(f(n)) + f(0)) = f(n) = f(3m_0 + n).$ bijectivity claramente implica $m_0 = 0$, que $f(0) = 0$. $f(f(m+n) + f(0)) = f(f(m) + f(n)) = m+n$ (Tal y como demostraron Stefan); así, ya que es inyectiva, $f$ $f(m) + f(n) = f(m + n)$. Así $f(n) = nf(1)$ y suprayectividad así requiere $f(1) = 1$ y así $f(n) = n$.