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Encontrar todas las funciones tales que

<blockquote> <p>Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{Z}_{\ge 0}\rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 0}$ tal que $f(f(m)+f(n))=m+n.$</p> </blockquote> <p>Mi idea era establecer $m_0$ tal que $f(m_0)=0$ y, a continuación:</p> <p>$$ f(f(m_0)+f(n))=f(0+f(n))=f(f(n))=m_0+n$$</p> <p>Entonces para establecer el $m=n$:</p> <p>$$ f(2f(n))=2n $$</p> <p>Pero aquí me quede sin ideas, como no sabe qué hacer para obtener el % o $f(n)$ $f(f(n))$ $f(2f(n))$. ¿Alguien me podría mostrar algunos consejos?</p>

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Stefan4024 Puntos 7778

La suprayectividad es bastante trivial. Para la inyectabilidad asumir que $f(m) = f(n)$, entonces existe (de suprayectividad) $f(m_1) = m$, $f(n_1) = n$ y $f(k) = 0$. Así que tenemos:

$$m_1 + k = f(f(m_1) + f(k)) = f(m) = f(n) = f(f(n_1) + f(k)) = n_1 + k \implies m_1 = n_1 \implies m=n$$

Por lo tanto la función es biyectiva. Ahora Supongamos que $f(k) = 0$. A continuación:

$$f(f(k) + f(k)) = 2k = f(f(2k) + f(0))$$

Desde el bijectivity: $f(2k) + f(0) = f(k) + f(k) = 0$. Pero como $f(x) \ge 0 $ obtenemos que $f(0) = 0$. Finalmente:

$$f(f(m) + f(n)) = m+n =f(f(m+n) + f(0)) \implies f(m+n) = f(m) + f(n)$$

La última ecuación se puede solucionar fácilmente mediante inducción y más tarde usted puede encontrar un valor adecuado para $f(1)$.

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Chris Puntos 1769

Como Max apunta en su comentario, suprayectividad es sencillo de probar, así que voy a dejar que uno para usted. En cuanto a la inyectabilidad, si tenemos $f(m) = f(n)$, $f(f(m) + f(n)) = f(f(n) + f(n))$ y así $m + n = 2n$, que dice $m = n$. Por lo tanto $f$ es una biyección.

Tomando el $f(m_0) = 0$, obtenemos $f(f(n)) = m_0 + n$ y $f(0) = 2m_0$, por lo que $f(f(f(n)) + f(0)) = f(n) = f(3m_0 + n).$ bijectivity claramente implica $m_0 = 0$, que $f(0) = 0$. $f(f(m+n) + f(0)) = f(f(m) + f(n)) = m+n$ (Tal y como demostraron Stefan); así, ya que es inyectiva, $f$ $f(m) + f(n) = f(m + n)$. Así $f(n) = nf(1)$ y suprayectividad así requiere $f(1) = 1$ y así $f(n) = n$.

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Michael Puntos 11

Si $f(m)=f(n)$ y $m=n$

Hay una solución al $f(x)=n$, cada $n$

Escriba $m_2,m_3,m_4,...$ $m_0$ y $m_1$

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