A partir del problema anterior, pretendo demostrar. En mi opinión, creo que debería tomar la intersección con el límite fuera de la probabilidad para que nos quedemos con la parte inicial de $P(A$ n $)$ $=1$ . ¿Es esta una afirmación correcta?
Respuesta
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mark
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Esto es más fácil de lo que crees. Tenemos $\Pr(A_n)=1$ lo que significa que $\Pr(A_n^c)=1-\Pr(A_n)=0$ para todos $n \geq 1$ . Recordemos que para las medidas de probabilidad tenemos la subaditividad contable (también denominada La desigualdad de Boole ), es decir
$$\Pr\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \Pr(B_n)$$
para cualquier evento (medible) $B_1, B_2, \ldots $ . Por lo tanto, por la ley de De Morgan, tenemos
$$\Pr\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = 1-\Pr\left( \bigcup_{n}^{\infty} A_n^{c} \right) \geq 1- \sum_{n=1}^{\infty} \Pr \left( A_n^c\right) = 1$$
y eso es todo.
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Necesitas $A_n$ para ser una familia monótona de conjuntos, es decir $A_{n+1}\subset A_n$ o al revés para sacar la intersección. Normalmente este no es el caso. Pero se puede reescribir $\cap_n A_n$ como $\cap_n B_n$ donde $B_n$ ¿es monótona?