Postulados de Peano

Question

Estoy buscando un conjunto que contiene un elemento 0 y un sucesor función s que cumpla con los dos primeros postulados de Peano (s es inyectiva y 0 no es en su imagen), pero no el tercero (uno sobre la inducción). Esto es por supuesto ejercicio 1.4.9 en libro de álgebra de MacLane, por lo que es más o menos la tarea, por lo que si podría hacer la cosa donde te gusta punto conmigo en la dirección correcta sin dar todo a perder sería gran. ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Tome un conjunto estrictamente mayor que $\Bbb N$.

Answer 2

Desde su conjunto tiene 0 y una función sucesor, debe contener $\Bbb N$. El axioma de inducción es lo que asegura que cada elemento es accesible desde 0. Así que tirar algo extra no$\Bbb N$ elementos que no son accesibles desde 0 y darles sucesores. Hay varias maneras de hacer esto.

Geométricamente, $\Bbb N$ es un rayo con su extremo en 0. Los axiomas de Peano fuerza a ser de esta forma. Cada axioma evita diferentes patologías. Por ejemplo, el axioma $Sn\ne 0$ es necesario para evitar que los rayos de acurrucarse en un círculo. Es un muy buen ejercicio para dibujar varias formas patológicas y, a continuación, ver cuáles son descartadas por el cual los axiomas, y por el contrario, para cada axioma, para producir una patología que es descartado por que ese axioma.

Anexo: me acaba de pasar a ser la lectura de Frege del Teorema y los Postulados de Peano por G. Boolos, y en la p.318 presenta una variación de este ejercicio que usted puede disfrutar. Boolos unidos una versión de los axiomas de Peano:

1. $\forall x. {\bf 0}\ne {\bf s}x$
2. $\forall x.\forall y.{\bf s}x={\bf s}y\rightarrow x=y$
3. (Inducción) $\forall F. (F{\bf 0}\wedge \forall x(Fx\rightarrow F{\bf s}x)\rightarrow \forall x. F x) $

Y luego dice:

Henkin observado que (3) implica la separación de (1) y (2)... es fácil construir modelos en los que cada uno de los siete conjunciones ±1±2±3 otros que–1–2+3 tiene; así que no hay otras dependencias entre 1, 2, y 3 que esperan ser descubiertos.

Su trabajo: encontrar los modelos!

Answer 3

¿Por qué los números racionales no negativos? O simplemente $(1/2)\mathbb N$.

Answer 4

Piensa en la pregunta por un momento (y creo que sobre las dos primeras partes, estoy asumiendo que tienes).

Usted necesita un conjunto X con una única operación y un elemento 0 que satisface P. P. (i) y (ii).

Cuando se construyeron los dos primeros sets, fue su única operación x+1? O ¿usted cree que algunos de asignación de otros? (No debe haber sido x+1 dado que, por uno de ellos al menos, necesitaba 0 en la imagen).

Se puede crear una única operación de más de N que es inyectiva y no incluye el 0 en su imagen, pero cuya imagen no es N?